И. Богданов

Задача №1. Окружности $\omega$ и $\Omega$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Пусть $M$ — середина дуги $AB$ окружности $\omega$ ($M$ лежит внутри $\Omega$). Хорда $MP$ окружности $\omega$ пересекает $\Omega$ в точке $Q$ ($Q$ лежит внутри $\omega$). Пусть $\ell_P$ — касательная к окружности $\omega$ в точке $P$, а $\ell_Q$ — касательная к окружности $\Omega$ в точке $Q$. Докажите, что окружность, описанная около треугольника, образованного при пересечении прямых $\ell_P$, $\ell_Q$ и $AB$, касается $\Omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №2. На бесконечной ленте выписаны в ряд числа. Первой идёт единица, а каждое следующее число получается из предыдущего прибавлением к нему наименьшей ненулевой цифры его десятичной записи. Сколько знаков в десятичной записи числа, стоящего в этом ряду на $9 \cdot 1000^{1000}$-ом месте? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. На гипотенузе $BC$ прямоугольного треугольника $ABC$ выбрана точка $K$ так, что $AB = AK$. Отрезок $AK$ пересекает биссектрису $CL$ в ее середине. Найдите острые углы треугольника $ABC$. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. По окружности записали красным пять несократимых дробей с нечетными знаменателями, большими $10^{10}$. Между каждыми двумя соседними красными дробями вписали синим несократимую запись их суммы. Могло ли случиться, что у синих дробей все знаменатели меньше 100? ( И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Существуют ли два многоугольника (не обязательно выпуклых), обладающих следующим свойством: прикладывая их друг к другу (без наложения), можно получить многоугольники с любым числом сторон от 3 до 100 включительно? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. На пути в музей группа детсадовцев построилась парами, причём количество пар из двух мальчиков было в три раза больше количества пар из двух девочек. На обратном пути та же группа построилась так, что количество пар из двух мальчиков было в четыре раза больше количества пар из двух девочек. Докажите, что эту же группу можно построить так, чтобы количество пар из двух мальчиков было в семь раз больше количества пар из двух девочек. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. На сотом году правления Казначей Бессмертный решил начать выпускать новые монеты. В этом году он выпустил в обращение неограниченный запас монет достоинством $2^{100} -1$, на следующий год — достоинством $2^{101} -1$, и т.д. Как только достоинство очередной новой монеты можно будет без сдачи набрать выпущенными ранее новыми монетами, Казначея сместят. На каком году его правления это случится? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Петя и Вася одновременно ввели в свои калькуляторы одно и то же не равное 0 целое число. После этого каждую минуту Петя либо прибавлял к своему числу 10, либо умножал его на 2014; одновременно Вася в первом случае вычитал из своего числа 10, а во втором — делил его на 2014. Могло ли оказаться, что через некоторое время числа у Пети и Васи снова стали равными? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Диагональ выпуклого 101-угольника будем называть главной, если по одну сторону от неё лежит 50, а по другую — 49 вершин. Выбрано несколько главных диагоналей, не имеющих общих концов. Докажите, что сумма длин этих диагоналей меньше суммы длин остальных главных диагоналей. ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. На каждой стороне квадрата выбрано по 100 точек, из каждой выбранной точки внутрь квадрата проведён отрезок, перпендикулярный соответствующей стороне квадрата. Оказалось, что никакие два из проведённых отрезков не лежат на одной прямой. Отметим все точки пересечения этих отрезков. При каком наибольшем $k < 200$ может случиться так, что на каждом проведённом отрезке лежит ровно $k$ отмеченных точек? ( И. Богданов, Н. Авилов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №11. В стране Эйлерии 101 город. Каждые два города соединены двусторонним беспосадочным рейсом одной из 99 авиакомпаний. Известно, что из каждого города выходят рейсы всех 99 компаний. Назовём $\textit{треугольником}$ три города, попарно соединённых рейсами одной и той же компании. Докажите, что в Эйлерии не больше одного треугольника. ( И. Богданов, Д. Карпов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №12. На бесконечном белом клетчатом листе выделен квадрат $Q$ размера $12\times 12$. Петя хочет окрасить некоторые (не обязательно все!) клетки квадрата семью цветами радуги (каждую клетку --- только одним цветом) так, чтобы никакие два из 288 трёхклеточных прямоугольников, центры которых лежат в $Q$, не были раскрашены одинаково. Удастся ли ему это сделать?
(Два трёхклеточных прямоугольника раскрашены одинаково, если один из них можно сдвинуть и, возможно, повернуть так, чтобы каждая его клетка наложилась на клетку второго прямоугольника, имеющую тот же цвет.) ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №13. Между городами страны организованы двусторонние беспосадочные авиарейсы таким образом, что от каждого города до каждого другого можно добраться (возможно, с пересадками). Более того, для каждого города $A$ существует город $B$ такой, что любой из остальных городов соединён напрямую с $A$ или с $B$. Докажите, что от любого города можно добраться до любого другого не более, чем с двумя пересадками. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №14. На доске написано 100 натуральных чисел, среди которых ровно 33 нечетных. Каждую минуту на доску дописывается сумма всех попарных произведений всех чисел, уже находящихся на ней (например, если на доске были записаны числа 1, 2, 3, 3, то следующим ходом было дописано число $1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 3+2\cdot 3+2\cdot 3+3\cdot 3$). Можно ли утверждать, что рано или поздно на доске появится число, делящееся на $2^{10000000}$? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №15. Найдите наибольшее вещественное $k$, для которого существуют множество $X$ и его подмножества $Y_1$, $Y_2$, $\dots$, $Y_{31}$, удовлетворяющие следующим двум условиям:
(1) для любых двух элементов $X$ найдется подмножество $Y_i$, не содержащее ни одного из них;
(2) при любом сопоставлении подмножествам $Y_i$ неотрицательных чисел $\alpha_i$ с суммой, равной 1, найдется такой элемент из $X$, что сумма $\alpha_i$, сопоставленных всем содержащим его подмножествам $Y_i$, не меньше $k$. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение олимпиада

Задача №16. В Тридесятом царстве из каждого города выходит по 30 дорог, причём каждая дорога соединяет два города, не проходя через другие города. Тридесятый царь захотел разместить в некоторых городах по дорожно-эксплуатационному управлению (ДЭУ), обслуживающему все выходящие из города дороги, так, чтобы каждая дорога обслуживалась хотя бы одним управлением и управления были размещены не более чем в половине городов. Может ли так оказаться, что у царя существует ровно 2018 способов сделать это? ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №17. Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего $500 \,000,$ и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №18. Дано натуральное число $k$. В городе несколько детей, они ходят в несколько кружков. Известно, что в каждый кружок ходит не более $3k$ детей, любой ребёнок ходит ровно в три кружка, и для любых двух детей есть кружок, в которой оба они ходят. Какое наибольшее количество детей может быть в городе? ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №19. Дано натуральное число $n\geqslant 2$. У Элвина есть таблица $n\times n$, заполненная вещественными числами (в каждой клетке записано ровно одно число). Назовём ладейным множеством множество из $n$ клеток, расположенных как в $n$ различных столбцах, так и в $n$ различных строках. Предположим, что сумма чисел в клетках любого ладейного множества неотрицательна.
За ход Элвин выбирает строку, столбец, а также вещественное число $a$; к каждому числу в выбранной строке он прибавляет $a$, а из каждого числа в выбранном столбце — вычитает $a$ (таким образом, число в пересечении строки и столбца не изменяется). Докажите, что Элвин может, сделав несколько ходов, добиться, чтобы все числа в таблице стали неотрицательными. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №20. На вечеринку пришли 99 гостей. Двое ведущих вечеринки, Анна и Боб, играют в следующую игру (ведущие не входят в число гостей). По кругу расставлены 99 стульев; изначально все гости ходят вокруг стульев. Ведущие делают ходы по очереди. За ход ведущий выбирает стоящего гостя и указывает ему свободный стул $c$, на который тот должен сесть; если хотя бы один стул, соседний с $c$, занят, то тот же ведущий велит одному гостю на стуле, соседнем с $c$, встать (если оба стула, соседних с $c$, заняты, ведущий выбирает один из них). Все указания исполняются немедленно. Анна ходит первой; её цель — добиться, чтобы после какого-то её хода хотя бы $k$ стульев были заняты. При каком наибольшем $k$ Анна может добиться цели, как бы ни действовал Боб? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №21. Положительные числа $a,$ $b,$ $c,$ $d$ таковы, что $(a+b+2c)^2 > d,$ $(b+c+2d)^2 > a,$ $(c+d+2a)^2 > b,$ $(d+a+2b)^2 > c.$ Докажите, что $a+b+c+d > 1/4.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №22. Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B - \angle A = 180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L \ne B$ так, что $\angle ACK = 2\angle BCK$ и $BK = KL$. Докажите, что $CK+AL = AC$. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №23. В языке племени УЫ всего две буквы: «У» и «Ы». Словом считается любая последовательность из $2n$ букв У и $2n$ букв Ы (число $n$ дано и фиксировано). Языковеды называют слова похожими, если одно можно получить из другого одной перестановкой двух соседних букв У и Ы. Какое наибольшее количество слов можно выписать на доску так, чтобы любые два из выписанных слов не были похожи? В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий и число использованных операций не должно зависеть от $n$. ( И. Богданов, Д. Белов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №24. Даны натуральные числа $a$ и $b$ $(a > 1)$, причём $b$ делится на $a^2.$ Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем, является также делителем числа $a.$ Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей. ( И. Богданов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №25. Учитель придумал ребус, заменив в примере $a+b = c$ на сложение двух натуральных чисел цифры буквами: одинаковые цифры одинаковыми буквами, а разные — разными. (например, если $a = 23,$ а $b = 528,$ то $c = 551,$ и получился, с точностью до выбора букв, ребус $\text{АБ}+\text{ВАГ} = \text{ВВД}$). Оказалось, что по получившемуся ребусу однозначно восстанавливается исходный пример. Найдите наименьшее возможное значение суммы $c.$ ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №26. Ненулевые многочлены $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождествам $ P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0. $ Докажите, что степени всех трёх многочленов чётны. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №27. В письменности используется 25-буквенный алфавит, а словами являются в точности все 17-буквенные последовательности. На полоске, склеенной в кольцо, написана последовательность из $5^{18}$ букв алфавита. Назовём слово уникальным, если из полоски можно вырезать участок, содержащий это слово, но нельзя вырезать два таких непересекающихся участка. Известно, что из полоски можно вырезать $5^{16}$ непересекающихся копий какого-то слова. Найдите наибольшее возможное количество уникальных слов. ( И. Богданов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №28. У Пети есть $1001$ карточка, на которых написаны синей ручкой числа $1,2,\dots,1001$; на каждой карточке написано ровно одно число. Петя выложил карточки по кругу синими числами вниз. Затем для каждой карточки $C$ Петя рассмотрел $500$ карточек, следующих за $C$ по часовой стрелке, и нашёл количество $f(C)$ тех из них, на которых синие числа больше, чем синее число на $C$. Число $f(C)$ Петя написал на верхней стороне карточки $C$ красной ручкой. Докажите, что Вася, видя только все красные числа, может восстановить, какое синее число на какой карточке написано. ( И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №29. Касательная в точке $C$ к окружности $\Omega$, описанной около неравнобедренного треугольника $ABC$, пересекает прямую $AB$ в точке $D$. Через точку $D$ проведена прямая, пересекающая отрезки $AC$ и $BC$ в точках $K$ и $L$ соответственно. На отрезке $AB$ отметили точки $M$ и $N$ так, что ${AC \parallel NL}$ и ${BC \parallel KM}$. Пусть $NL$ и $KM$ пересеклись в точке $P$, лежащей внутри треугольника $ABC$. Прямая $CP$ во второй раз пересекает окружность $\omega$, описанную около треугольника $MNP$, в точке $Q$. Докажите, что прямая $DQ$ касается $\omega$. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №30. Среди натуральных чисел $a_1$, $\ldots$, $a_k$ нет одинаковых, а разность между наибольшим и наименьшим из них меньше 1000. При каком наибольшем $k$ может случиться, что все квадратные уравнения $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2} = 0$, где $1 \le i \le k-2$, не имеют корней? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №31. Можно ли число 240 представить в виде суммы девяти двузначных чисел (среди которых могут быть и одинаковые), в десятичной записи каждого из которых есть девятка? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №32. За круглым столом сидят $n$ человек: рыцарей, всегда говорящих правду, и лжецов, которые всегда лгут. Каждый из них знает про остальных, кто рыцарь, а кто — лжец. Журналист задал каждому из сидящих вопрос: «Кто ваш правый сосед, рыцарь или лжец?», и от каждого получил либо ответ «рыцарь», либо ответ «лжец». Журналисту было известно, что лжецов за столом ровно 8. Но все равно оказалось, что по полученным ответам невозможно точно установить, кто из сидящих — лжецы. Чему могло быть равно $n$? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №33. На продолжении основания $AC$ равнобедренного треугольника $ABC$ за вершину $A$ выбрана точка $K$, а на боковой стороне $AB$ — точка $L$ так, что $KL = LC$. Оказалось, что $KA = LB$. Найдите угол $ABC$. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №34. Окружности $\Omega$ и $\Gamma$ пересекаются в точках $A$ и $B$. Линия центров этих окружностей пересекает $\Omega$ и $\Gamma$ в точках $P$ и $Q$ соответственно так, что они лежат по одну сторону от прямой $AB$, причём точка $Q$ расположена ближе к этой прямой. По ту же сторону от $AB$ взята окружность $\delta$, касающаяся отрезка $AB$ в точке $D$ и $\Gamma$ в точке $T$. Прямая $PD$ вторично пересекает $\delta$ и $\Omega$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Докажите, что $\angle QTK=\angle DTL$. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №35. Учитель выдал детям 10 различных положительных чисел. Серёжа вычислил все 45 их попарных сумм; среди них нашлось пять равных чисел. Петя вычислил все 45 их попарных произведений. Какое наибольшее количество из них могли оказаться равными? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №36. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $G$. Среди шести углов $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ есть не менее трёх, каждый из которых не меньше $\alpha$. При каком наибольшем $\alpha$ это могло произойти? ( Н. Седракян, И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №37. Дано натуральное $n$. В клетчатом квадрате $2n\times 2n$ каждая клетка покрашена в какой-то из $4n^2$ цветов (при этом некоторые цвета могли не использоваться). Доминошкой будем называть любой прямоугольник из двух клеток в нашем квадрате. Будем говорить, что доминошка разноцветная, если клетки в ней разных цветов. Пусть $k$ — количество разноцветных доминошек среди всех доминошек в нашем квадрате. Пусть $\ell$ — наибольшее целое число такое, что в любом разрезании квадрата на доминошки найдётся хотя бы $\ell$ разноцветных доминошек. Найдите наибольшее возможное значение выражения $4\ell - k$ по всем возможным раскраскам квадрата. ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №38. Дано натуральное число $k$. Из натуральных чисел, не превосходящих $12k^3$, выбраны $6k+20$ чисел. Докажите, что из них можно выбрать две непересекающиеся шестерки чисел с равными суммами. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №39. Пусть $n>1$ — целое число. В гостинице $n$ номеров, занумерованных числами $1,2,\dots,n$; в $i$-м номере $i$ комнат, при всех $i=1,2,\dots,n$. Каждую неделю в гостиницу заезжает очередная группа из $n$ семей; каждая семья заранее заявляет натуральное число — минимальное количество комнат в номере, которое ей необходимо. Перед каждым заездом, когда предыдущая группа выехала, портье подсчитывает количество $A$ способов выдать каждой семье по отдельному номеру так, чтобы все их требования были выполнены. Затем он записывает число $A$ в свою записную книжку. Докажите, что в записной книжке у портье есть не более $2^{n-1}$ различных ненулевых чисел. ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада