И. Богданов

Есеп №1. $\omega $ және $\Omega $ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. $M$ нүктесі $\omega $ шеңберінің $AB$ доғасының ортасы болсын ($M$ нүктесі $\Omega $-ның ішінде жатыр). $\omega $ шеңберінің $MP$ хордасы $\Omega $ шеңберін $Q$ нүктесінде қияды ($Q$ нүктесі $\omega $-ның ішінде жатыр). ${{l}_{P}}$ — $\omega $ шеңберіне $P$ нүктесінде, ${{l}_{Q}}$ — $\Omega $ шеңберіне $Q$ нүктесінде жүргізілген жанамалар болсын. ${{l}_{P}}$, ${{l}_{Q}}$ және $AB$ түзулерінің қиылысуынан пайда болған үшбұрышқа сырттай сызылған шеңбер $\Omega $-ны жанайтынын дәлелдеңдер. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №2. Шексіз лентада тізбек бойынша сандар жазылған. Басында бір саны тұр, ал одан кейінгі сан, алдыңғы саннан сол санға оның ең кіші нөлдік емес цифрасын қосқаннан пайда болады. $9 \cdot 1000^{1000}$-шы орында тұрған сан қанша таңбалы сан? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. $AB=AK$ болатыңдай $ABC$ тікбұрышты үшбұрышының $BC$ гипотенузасынан $K$ нүктесі алынған. $AK$ кесіндісі $CL$ биссектрисасын оның ортасында қиып өтеді. $ABC$ үшбұрышының сүйір бұрыштарын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Шеңбер бойымен қысқартылмайтын бөлімі тақ және $10^{10}$ үлкен болатындай бес қызыл бөлшек жазды. Әрбір көршілес қызыл бөлшек арасына қысқартылмайтын екеуінінің көк қосындысын жазды. Барлық көк бөлшектердің бөлімдері 100 ден кіші болуы мүмкін бе? ( И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №5. Бір біріне қосқанда (бір бірін жаппайтындай), қабырға саны 3-тен 100-ге дейінгі кез келген көпбұрыш ала алатындай екі көпбұрыш (көпбұрыш дөңес емес болуы мүмкін) табылады ма? ( И. Богданов, С. Волчёнков, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Музейге барар жолда балабақша балалар тобы жұптарға бөлініп тізілді. Сонда екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан үш есе көп болған. Қайтар жолда сол топ екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан төрт есе көп болатындай етіп тізілген. Олай болса, осы топты екі ұлдан құралған жұптар саны екі қыздан құралған жұптар санынан жеті есе көп болатындай етіп тізуге болатынын дәлелде. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. Өзінің басқаруының жүзінші жылында Ажалсыз Қазынашы жаңа тиындар шығару туралы ойлады. Осы жылы ол тиын құны $2^{100}-1$ болатын шексіз көп тиындарды айнымалыға шығарды, келесі жылы құны $2^{101}-1$ болатын тиындар, және т.с.с. Келесі шыққан жаңа тиынды оған дейін шыққан тиындармен майдалау мүмкін болған жағдайда, Қазынашыны орнынан ысырады. Өзінің басқаруының нешінші жылында Қазынашы ысырылады? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №8. Петя мен Вася бір уақытта өз калькуляторларына нөлге тең емес бірдей бүтін санды жазды. Содан кейін Петя әр минут сайын өз санын немесе 10-ға үлкейтіп отырған, немесе 2014-ке көбейтіп отырған; сол уақытта, бірінші жағдайда Вася өз санын 10-ға кемітіп, екінші жағдайда 2014-ке бөліп отырған. Бірнеше уақыттан кейін Петя мен Васяның сандары қайтадан бірдей болуы мүмкін бе? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9. Дөңес 101-бұрыштың диагональін басты деп атаймыз, егер оның бір жағында 50 төбе, ал екінші жағында 49 төбе жатса. Ортақ ұштары жоқ бірнеше басты диагональдар таңдап алынған. Сол диагональдардың ұзындықтарының қосындысы, қалған басты диагональдардың ұзындықтарының қосындысынан кіші екенін дәлелде. ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Квадраттың әр қабырғасынан 100 нүктеден белгілеген. Әр нүктеден квадраттың ішіне қарай сәйкес қабырғаға перпендикуляр кесінді жүргізілген. Жүргізілген кесінділердің ешқандай екеуі бір түзудің бойында жатпайтындай болып шыққан. Осы кесінділердің барлық қиылысу нүктелері белгіленген. $k < 200$ санының қандай ең үлкен мәнінде, әр жүргізілген кесіндіде дәл $k$ белгіленген нүкте жатады? ( И. Богданов, Н. Авилов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №11. Эйлерии елінде 101 қала бар. Кез келген екі қала 99 авиакомпанияның қандай да бір біреуінің екі бағытты тұра рейсімен қосылған. Әр қаладан барлық 99 авиакомпанияның рейстері шығатыны белгілі. Егер үш қаланың кез келген екеуі қос-қостан бірдей авиякомпания рейсімен қосылса, онда оларды үшбұрыш деп атайық. Эйлерии елінде үшбұрыш саны 1-ден көп емес екенін дәлелдеңіздер. ( И. Богданов, Д. Карпов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №12. Шексіз ақ төр қағазда өлшемі $12\times 12$ болатын $Q$ квадраты алынған. Петя осы квадраттың шаршыларын (міндетті түрде барлығын емес) жеті түстің біреуіне (әр шаршыны тек бір түспен ғана) келесі шарт орындалатындай бояғысы келеді: центрі $Q$-да жататын, үш шаршыдан құралған 288 тіктөртбұрыштың ешқандай екеуі бірдей боялмаған болу керек.
(Егер екі үшшаршылы тіктөртбұрышты жылжыту арқылы (мүмкін бұру арқылы) екінші үшшаршылы тіктөртбұрышпен сәйкес шаршыларының түстері бірдей болатындай беттестіріп қоюға болса, онда осы екі тіктөртбұрыштар бірдей боялған болып саналады.) ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №13. Бір елдің қалаларының арасында кез келген қаладан кез келген басқа қалаға (мүмкін, басқа қала арқылы) жетуге болатындай екі бағытты тұра авиарейстер ұйымдастырылған. Сонымен қатар кез келген $A$ қаласы үшін, келесі шарттар орындалатындай $B$ қаласы бар: осы екі қаладан басқа қаладардың әрқайсысы $A$ қаласымен, немесе $B$ қаласымен тұра қосылған. Кез келген қаладан кез келген басқа қалаға ең көп дегенде екі орын ауыстыру арқылы жетуге болатынын дәлелдеңіздер. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №14. Тақтада 100 натурал сан жазылған, олардың ішінде дәл 33-ші тақ. Әр минут сайын тақтаға жазылып тұрған сандардың қос-қостан алғандағы көбейтінділердің қосындысы жазылады (мысалға, егер тақтада 1, 2, 3, 3 сандары жазылса, онда келесі минутта $1\cdot 2+1\cdot 3+1\cdot 3+2\cdot 3+2\cdot 3+3\cdot 3$ саны жазылады). Қандай да бір уақытта, ерме ме кеш пе, тақтада $2^{10000000}$ санына бөлетін сан пайда болады деп есептеуге болады ма? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №15. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, $X$ көпмүшесі мен оның ішкі көпмүшелері ${{Y}_{1}}$, ${{Y}_{2}}$, $\ldots$ ${{Y}_{31}}$ үшін табылатын ең үлкен нақты $k$-ны анықтаңыз:
1) $X$ көпмүшесінің кез-келген екі мүшесі үшін, олардың ешқайсысын қамтымайтын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесі табылады.
2) Қосындысы 1-ге тең, теріс емес ${{\alpha }_{i}}$ сандарын ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшелерімен кез-келген салыстыруда, $X$ көпмүшесінен, ${{Y}_{i}}$ ішкі көпмүшесінің барлық мүшелерімен салыстырылған ${{\alpha }_{i}}$ сандарының қосындысы $k$ дан кем емес. ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №16. В Тридесятом царстве из каждого города выходит по 30 дорог, причём каждая дорога соединяет два города, не проходя через другие города. Тридесятый царь захотел разместить в некоторых городах по дорожно-эксплуатационному управлению (ДЭУ), обслуживающему все выходящие из города дороги, так, чтобы каждая дорога обслуживалась хотя бы одним управлением и управления были размещены не более чем в половине городов. Может ли так оказаться, что у царя существует ровно 2018 способов сделать это? ( И. Богданов, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №17. $500 \, 000$ санынан үлкен натурал $a$ саны және натурал $b$ саны үшін $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}$ теңдігі орындалатындай, ең кіші натурал $k$ санын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №18. Натурал $k$ саны берілген. Қалада бірнеше бала бар, олар бірнеше үйірмеге қатысады. Әрбір үйірмеге қатысатын балалар саны $3k$-дан аспайды, кез-келген бала дәл үш үйірмеге қатысады, және кез-келген екі бала үшін, сол екеуі де қатысатын үйірме бар. Қалада ең көп дегенде қанша бала болуы мүмкін? ( И. Богданов, Г. Челноков )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №19. $n\geqslant 2$ натурал саны берілген. Элвинде өлшемі $n\times n$ тақта бар. Сол тақтаның әр шаршысына нақты бір сан жазылған. $n$ шаршыдан құралған жиынды ладьялы жиын деп атайық, егер осы шаршылар әртүрлі қатарларда және әртүрлі бағандарда орналасса. Кез келген ладьялы жиындағы сандардың қосындысы теріс емес болсын.
Бір жүрісте Элвин нақты $a$ санын, қандай да бір қатарды, қандай да бір бағанды таңдап алып, сосын таңдалған қатардағы әр санға $a$ санын қосады, ал таңдалған әр бағандағы саннан $a$ санын азайтады (яғни таңдалған қатар мен бағанның қиылысындағы сан өзгермейді). Бірнеше жүріс ішінде, Элвин тақтадағы барлық сандар теріс емес болатындай жүріс жасай алатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №20. Сауық кешке 99 қонақ келді. Кешті ойын түрде Анна және Боб тамадалары жүргізеді (тамадалар қонақтардың құрамына кірмейді). Шеңбер бойымен 99 орындық қойылған; бастапқыда барлық қонақтар орындықтардың айналасында жүреді. Тамадалар кезектесіп жүреді.
Тамада өзінің жүрісінде тұрып тұрған қонақты таңдайды да, оған бос тұрған $c$ орындықты көрсетеді, сол кезде қонақ сол орындыққа отыруы керек; ал егер $c$ орындығына көрші екі орындықтардың кемінде біреуі бос емес болса, онда сол тамада $c$-ға көрші бос емес орындықта отырған қонақтың орындықтан тұрып кетуіне бұйрық береді (егер екі орындық та бол болмаса, онда тамада екі орындықтың біреуін таңдайды). Сол кезде бұйрықтар мезетте орындалады.
Жүрісті Анна бастайды; оның мақсаты — оның қандай да бір жүрісінен кейін кемінде $k$ орындық бос болмауы керек. $k$-ның қандай ең үлкен мәнінде, Боб қалай ойнамаса да, Анна өз мақсатына жете алады? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №21. Оң $a,$ $b,$ $c,$ $d$ сандары үшін $(a+b+2c)^2 > d,$ $(b+c+2d)^2 > a,$ $(c+d+2a)^2 > b,$ $(d+a+2b)^2 > c$ теңсіздіктері орындалады. Олай болса $a+b+c+d > 1/4$ екенін дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №22. Дан треугольник $ABC$, в котором $2\angle B - \angle A = 180^\circ$. Внутри него выбрана точка $K$, а на его стороне $AB$ — точка $L \ne B$ так, что $\angle ACK = 2\angle BCK$ и $BK = KL$. Докажите, что $CK+AL = AC$. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №23. В языке племени УЫ всего две буквы: «У» и «Ы». Словом считается любая последовательность из $2n$ букв У и $2n$ букв Ы (число $n$ дано и фиксировано). Языковеды называют слова похожими, если одно можно получить из другого одной перестановкой двух соседних букв У и Ы. Какое наибольшее количество слов можно выписать на доску так, чтобы любые два из выписанных слов не были похожи? В записи ответа допустимы только четыре арифметические операции, возведение в степень, взятие факториала и стандартных комбинаторных величин, там не должно содержаться многоточий и число использованных операций не должно зависеть от $n$. ( И. Богданов, Д. Белов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №24. Даны натуральные числа $a$ и $b$ $(a > 1)$, причём $b$ делится на $a^2.$ Кроме того, любой делитель числа $b$, меньший, чем, является также делителем числа $a.$ Докажите, что у числа $a$ не более трех различных простых делителей. ( И. Богданов, А. Голованов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №25. Мұғалім ребус ойлап тапты: $a+b = c$ натурал сандар қосындысының мысалында сандардың цифрларын әріптермен ауыстырды. Яғни, бірдей цифрлер бірдей әріптермен, ал әртүрлі цифрлар әртүрлі әріптермен ауыстырыл-ды (мысалы, егер $a = 23$, ал $b = 528$, ендеше $c = 551$, сонда, $АБ+ВАГ = ВВД$ түрдегі ребусы шығады). Бастапқы құрастырылған ребустағы сандарды нақты түрде табылатыны белгілі болды (демек бір ғана шешімі бар). $c$ қосындысының ең кіші мәнің анықтаңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №26. Ненулевые многочлены $P(x)$, $Q(x)$ и $R(x)$ с вещественными коэффициентами удовлетворяют тождествам $$ P(x)+Q(x)+R(x)=P(Q(x))+Q(R(x))+R(P(x))=0. $$ Докажите, что степени всех трёх многочленов чётны. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №27. Бір тілдің әліпбиінде 25 әріп бар, ал сөз болып барлық дәл 17 әріптерден құралған тізбекті айтады. Сақина болып желімделген жолаққа осы тілдің $5^{18}$ әріпі бір тізбеккке жазылған. Егер осы жолақтан қандай да бір сөзі бар бөлікті кесіп алуға болса, бірақ осындай өзара қиылыспайтын екі сөзді кесіп алуға болмаса, ондай сөзді сирек деп атаймыз. Осы жолақтан қайсібір сөздің $5^{16}$ қиылыспайтын көшірмелерін қиып алуға болатыны белгілі. Сирек сөздердің ең үлкен мүмкін санын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №28. Петя көк қаламмен $1,2,\dots,1001$ сандарын $1001$ картаға жазып шықты (әрбір картада дәл бір сан жазылған). Сосын ол карталарды көк сандарымен төмен қаратып, шеңбер бойына қандай да бір ретпен қойып шықты. Кейін ол әрбір $C$ картасы үшін, $C$-дан кейін сағат тілі бағытымен орналасқан 500 карталарды қарастырып, сол 500 карталардағы көк сандардың қаншасы $C$ картасында жазылған көк саннан артық екенін санап, сол санды $f(C)$ деп белгіледі. Петя қызыл қаламмен әр $C$ картасының жоғарғы жағына $f(C)$ санын жазды. Вася барлық қызыл сандарды көріп, қай картада қай көк сан жазылғанын қалпына келтіре алатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №29. Теңбүйірлі емес $ABC$ үшбұрышына сырттай сызылған $\Omega$ шеңберге $C$ нүктесінде жүргізілген жанама түзу $AB$ түзуін $D$ нүктесінде қияды. $D$ арқылы өтететін түзу $AC$ және $BC$ қабырғаларын, сәйкесінше, $K$ және $L$ нүктелерінде қияды. $AB$ қабырғасынан $AC \parallel NL$, $BC \parallel KM$ болатындай $M$ және $N$ нүктелері белгіленген. $NL$ және $KM$ түзулері $P$ нүктесінде қиылысады ($P$ $\triangle ABC$-ның ішінде жатыр). $CP$ түзуі $MNP$ үшбұрышына сырттай сызылған $\omega$ шеңберін екінші рет $Q$ нүктесінде қияды. $DQ$ түзуі $\omega$-ны жанайтынын дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №30. $a_1$, $\ldots$, $a_k$ натурал сандарының арасында екі тең сан жоқ, ал ең үлкені мен ең кішісінің айырмашылығы 1000-нан кіші. $k$ санының қандай ең үлкен мәнінде әр $a_ix^2+2a_{i+1}x+a_{i+2} = 0$ ($1 \le i \le k-2$) квадрат теңдеулерінің түбірі болмайтындай жағдай бола алады? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №31. Әрқайсысының жазылуында 9 цифры бар екітаңбалы тоғыз сан сан берілген (сандар әртүрлі болуы міндетті емес). Осы тоғыз санның қосындысы 240-қа тең болуы мүмкін ба? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №32. Дөңгелек үстел бойында $n$ адам отыр. Әр адам – тек шындықты айтатын сері, немесе тек өтірік айтатын — өтірікші. Олардың әрқайсысы басқалары туралы бәрін біледі: кімнің сері, кімнің өтірікші екенін. Журналист отырғандардың әрқайсысына: «Сенің оң жағында отырған көршің кім, сері ма, әлде өтірікші ма?» деген сұрақты қойған кезде, әрқайсысынан «сері» немесе «өтірікші» деген жауап алды. Үстел басында дәл 8 өтірікші отырғанын журналист білген. Оған қарамастан алынған жауаптардан ол отырғандардың қайсысы өтірікші екенін нақты анықтау мүмкін емес болып шықты. Сонда $n$ нешеге тең болуы мүмкін? ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №33. Теңбүйірлі $ABC$ үшбұрышының $AC$ табанының $A$ нүктесінен әрі созындысынан $K$ нүктесі, ал бүйір $AB$ қабырғасында $L$ нүктесі $KL = LC$ болатындай алынған. Егер $KA = LB$ болса, $ABC$ бұрышын табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №34. $\Omega$ және $\Gamma$ шеңберлері $A$ және $B$ нүктелерінде қиылысады. Осы шеңберлердің центрлері арқылы өтетін түзу $\Omega$ және $\Gamma$-ны, сәйкесінше, $P$ және $Q$ нүктелерінде қияды (мұнда $P$ және $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр әрі $Q$ нүктесі $P$-ға қарағанда $AB$-ға жақынырақ орналасқан). $\delta$ шеңбері $AB$ кесіндісін $D$, ал $\Gamma$-ны $T$ нүктесінде жанайды (мұнда $\delta$ шеңбері және $P$, $Q$ нүктелері $AB$-ның бір жағында жатыр). $PD$ түзуі $\delta$-ны екінші рет $K$, ал $\Omega$-ны екінші рет $L$ нүктесінде қияды. $\angle QTK=\angle DTL$ екенін дәлелдеңіз. ( М. Кунгожин, И. Богданов, Сам Ф. )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №35. Мұғалім оқушыларға 10 әртүрлі оң сан берді. Сергей екі саннан тұратын барлық 45 жұпты алып, әр жұптағы сандардың қосындысын есептеді. Сонда олардың ішінде өзара тең бес қосынды табылған. Петя екі саннан тұратын барлық 45 жұпты алып, әр жұптағы сандардың көбейтіндісін есептеді. Петя алған көбейтінділердің ішінде ең көп дегенде нешеуі өзара тең болуы мүмкін? ( И. Богданов )
комментарий/решение(5) олимпиада

Есеп №36. $ABC$ үшбұрышының медианалары $G$ нүктесінде қиылысады. Алты $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ бұрыштарының ішінде кемінде үшеуінің әрқайсысы $\alpha$-дан кем емес. $\alpha$-ның қандай ең үлкен мәнінде осындай жағдай орындала алады? ( Н. Седракян, И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №37. Натурал $n$ саны берілген. $2n \times 2n$ торлы шаршының әрбір ұяшығы $4n^2$ түстің біреуіне боялған (бірақ та қандай да бір түс қолданбауы мүмкін). Шаршыдағы екі ұяшықтан құралған тіктөртбұрыш фигураны домино деп айтайық. Екі ұяшығы әртүрлі түске боялған доминоны түрлі-түсті домино деп атаймыз.
$k$ саны — шаршыдағы барлық түрлі-түсті домино саны болсын. Шаршыны толығымен домино фигураларына бөлу кезінде кем дегенде $\ell$ түрлі-түсті домино табылатындай, $\ell$ саны осындай сандардың (доминоға бөлулер кездегі) ең үлкені болсын. Шаршының барлық әртүрлі бояуларында $4\ell-k$ өрнегінің мүмкін болатын ең үлкен мәнін табыңыз. ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №38. Натурал $k$ саны берілген. $12k^3$ санынан аспайтын натурал сандардың арасынан $6k+20$ сан таңдап алынды. Таңдалған сандардың ішінен, бірінші алтылықтағы 6 санның қосындысы екінші алтылықтағы 6 санның қосындысына тең болатындай, бірақ осы алтылықтардың ортақ мүшесі болмайтындай етіп, екі алтылықты таңдауға болатынын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №39. $n>1$ — бүтін сан болсын. Қонақ үйде $1,2,\dots,n$ сандарымен нөмірленген $n$ номер бар, және әр $i=1,2,\dots,n$ үшін нөмірі $i$-ге тең номерде $i$ бөлме бар. Әр апта сайын қонақ үйге $n$ жанұядан құралған топ жайғасады. Жайғасар алдында әр жанұя алдын ала номерде кемінде неше бөлме болу керектігін айтып қояды. Әр жаңа топтың жайғасуы алдында, оған дейінгі топ шығып кеткен кезде, портье әр жанұя үшін, сол жанұяның талабы орындалатындай етіп, бір номерден берудің жалпы $A$ әдіс санын есептеп, $A$ санын өзінің кітапшасына жазып қояды. Осы кітапшада ең көп дегенде $2^{n-1}$ түрлі натурал сан жазылғанын дәлелдеңіз. ( И. Богданов )
комментарий/решение олимпиада