Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа

Найдите наименьшее натуральное $k$ такое, что для некоторого натурального числа $a$, большего $500 \,000,$ и некоторого натурального числа $b$ выполнено равенство $\frac{1}{a}+\frac{1}{a+k}=\frac{1}{b}.$ ( И. Богданов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. $k = 1001.$
Решение. Оценка. Положим $a+k = c$ и НОД$(a, c) = d.$ Тогда $a = da_1$, $c = dc_1$ и $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{a_1+c_1}{da_1c_1}.$ Так как числа $a_1c_1$ и $a_1+c_1$ взаимно просты, $d$ должно делиться на $a_1+c_1.$ Поэтому $d \ge a_1+c_1$ и $d^2 \ge d(a_1+c_1) = a+c > 10^6,$ откуда $d \ge 1001$ и $k = d(c_1-a_1) \ge 1001.$
Пример. $a = 500\,500,$ $k = 1001$: $\frac{1}{500500}+\frac{1}{501501}=\frac{1}{250500}.$