Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа


500000 санынан үлкен натурал a саны және натурал b саны үшін 1a+1a+k=1b теңдігі орындалатындай, ең кіші натурал k санын табыңыз. ( И. Богданов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Ответ. k=1001.
Решение. Оценка. Положим a+k=c и НОД(a,c)=d. Тогда a=da1, c=dc1 и 1a+1c=a1+c1da1c1. Так как числа a1c1 и a1+c1 взаимно просты, d должно делиться на a1+c1. Поэтому da1+c1 и d2d(a1+c1)=a+c>106, откуда d1001 и k=d(c1a1)1001.
Пример. a=500500, k=1001: 1500500+1501501=1250500.