Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2017-2018 учебный год, I тур заключительного этапа
500000 санынан үлкен натурал a саны және натурал b саны үшін 1a+1a+k=1b теңдігі орындалатындай, ең кіші натурал k санын табыңыз.
(
И. Богданов
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Ответ. k=1001.
Решение. Оценка. Положим a+k=c и НОД(a,c)=d. Тогда a=da1, c=dc1 и 1a+1c=a1+c1da1c1. Так как числа a1c1 и a1+c1 взаимно просты, d должно делиться на a1+c1. Поэтому d≥a1+c1 и d2≥d(a1+c1)=a+c>106, откуда d≥1001 и k=d(c1−a1)≥1001.
Пример. a=500500, k=1001: 1500500+1501501=1250500.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.