А. Кузнецов

Задача №1. Диагонали

$AC$ и

$BD$ вписанного четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ под прямым углом. Точка

$Q$ на отрезке

$PC$ выбрана так, что

$AP=QC$ . Докажите, что периметр треугольника

$BQD$ не меньше чем

$2AC$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. В равнобедренном треугольнике

$ABC$ проведена биссектриса

$BL$ . На основании

$BC$ выбрана точка

$D$ , а на боковой стороне

$AB$ — точка

$E$ так, что

$AE={1\over 2}AL=CD$ . Докажите, что

$LE = LD$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Диагонали

$AC$ и

$BD$ вписанного четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ под прямым углом. Точка

$Q$ на отрезке

$PC$ выбрана так, что

$AP=QC$ . Докажите, что периметр треугольника

$BQD$ не меньше чем

$2AC$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. На продолжении стороны

$AD$ прямоугольника

$ABCD$ за точку

$D$ выбрана точка

$E$ . Луч

$EC$ вторично пересекает окружность

$\omega$ , описанную около треугольника

$ABE$ , в точке

$F$ . Лучи

$DC$ и

$AF$ пересекаются в точке

$P$ . На прямую

$\ell$ , проходящую через точку

$E$ параллельно прямой

$AF$ , опущен перпендикуляр

$CH$ . Докажите, что прямая

$PH$ касается окружности

$\omega$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Диагонали выпуклого четырехугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$E$ . Известно, что

$AB = BC = CD = DE = 1$ . Докажите, что

$AD < 2$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №6. В выпуклом четырёхугольнике

$ABCD$ углы

$A$ и

$C$ равны

$100^\circ$ . На сторонах

$AB$ и

$BC$ выбраны точки

$X$ и

$Y$ соответственно так, что

$AX = CY$ . Оказалось, что прямая

$YD$ параллельна биссектрисе угла

$ABC$ . Найдите угол

$AXY$ . ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №7. На боковых сторонах

$AB$ и

$AC$ равнобедренного треугольника

$ABC$ выбраны точки

$P$ и

$Q$ соответственно так, что

$PQ \parallel BC$ . На биссектрисах треугольников

$ABC$ и

$APQ$ , исходящих из вершин

$B$ и

$Q$ , выбраны точки

$X$ и

$Y$ соответственно так, что

$XY \parallel BC$ . Докажите, что

$PX = CY$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №8. Внутри параллелограмма

$ABCD$ выбрана точка

$E$ так, что

$AE = DE$ и

$\angle ABE = 90^\circ.$ Точка

$M$ --- середина отрезка

$BC.$ Найдите угол

$DME.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Вершина

$F$ параллелограмма

$ACEF$ лежит на стороне

$BC$ параллелограмма

$ABCD$ . Известно, что

$AC = AD$ и

$AE = 2CD$ . Докажите, что

$\angle CDE = \angle BEF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №10. Четырехугольник

$ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке

$O$ . Касательные к этой окружности в точках

$A$ и

$C$ вместе с прямой

$BD$ образуют треугольник

$\Delta$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$BOD$ и

$\Delta$ касаются. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №11. Четырехугольник

$ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке

$O$ . Касательные к этой окружности в точках

$A$ и

$C$ вместе с прямой

$BD$ образуют треугольник

$\Delta$ . Около треугольника

$OAC$ описана окружность

$\omega$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$BOD$ и

$\Delta$ касаются и их точка касания лежит на окружности

$\omega$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №12. В трапеции

$ABCD$ боковая сторона

$AB$ равна диагонали

$BD.$ Точка

$M$ — середина диагонали

$AC$ . Прямая

$BM$ пересекает отрезок

$CD$ в точке

$E.$ Докажите, что

$BE = CE.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №13. Точки

$M$ и

$N$ — середины сторон

$AB$ и

$BC$ соответственно треугольника

$ABC.$ На продолжении отрезка

$CM$ за точку

$M$ отмечена точка

$D.$ Оказалось, что

$BC = BD = 2$ и

$AN = 3.$ Докажите, что

$\angle ADC = 90^\circ.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №14. Дана трапеция

$ABCD$ с основаниями

$BC$ и

$AD$ . Точки

$B'$ и

$C'$ симметричны точкам

$B$ и

$C$ относительно прямых

$CD$ и

$AB$ соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников

$ABC'$ и

$B'CD$ , равноудалена от точек

$A$ и

$D$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №15. В треугольнике

$ABC$ угол при вершине

$B$ тупой,

$AB\ne BC$ . Точка

$O$ — центр описанной окружности

$\omega$ этого треугольника,

$N$ — середина дуги

$ABC$ . Окружность, описанная около треугольника

$BON$ , пересекает отрезок

$AC$ в точках

$X$ и

$Y$ . Лучи

$BX$ и

$BY$ вторично пересекают окружность

$\omega$ в точках

$Z$ и

$T$ . Докажите, что точка, симметричная точке

$N$ относительно прямой

$AC$ , лежит на прямой

$ZT$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №16. Треугольник

$ABC$ , в котором

$AB < AC$ , вписан в окружность

$\omega$ . Окружности

$\gamma_1$ и

$\gamma_2$ касаются прямых

$AB$ и

$AC$ , а их центры лежат на окружности

$\omega$ . Докажите, что точка

$C$ лежит на общей внешней касательной к окружностям

$\gamma_1$ и

$\gamma_2$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №17. Саша, Андрей и Оля выбрали по натуральному числу. Каждый из них умножил числа, выбранные двумя другими ребятами, на свое число и вычел меньшее произведение из большего. У Саши получилось 1, а у Андрея 121. Сколько могло получиться у Оли? Приведите все возможные варианты и докажите, что других нет. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №18. Периметр треугольника

$ABC$ равен 2. На стороне

$AC$ отмечена точка

$P,$ а на отрезке

$CP$ — точка

$Q$ так, что

$2AP = AB$ и

$2QC = BC.$ Докажите, что периметр треугольника

$BPQ$ больше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №19. Точка

$N$ — середина стороны

$BC$ треугольника

$ABC,$ в котором

$\angle ACB = 60^\circ$ . Точка

$M$ на стороне

$AC$ такова, что

$AM = BN.$ Точка

$K$ — середина отрезка

$BM.$ Докажите, что

$AK = KC.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №20. На средней линии равностороннего треугольника

$ABC,$ параллельной стороне

$BC,$ взята точка

$D.$ Точка

$E$ на продолжении стороны

$BA$ за точку

$A$ такова, что

$\angle ECA = \angle DCA.$ Точка

$F$ на продолжении стороны

$CA$ за точку

$A$ такова, что

$\angle FBA = \angle DBA.$ Докажите, что точка

$A$ лежит на средней линии треугольника

$DEF,$ параллельной стороне

$EF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №21. Сначала Саша прямолинейными разрезами, каждый из которых соединяет две точки на сторонах квадрата, делит квадрат со стороной 2 на 2020 частей. Затем Дима вырезает из каждой части по кругу. Докажите, что Дима всегда может добиться того, чтобы сумма радиусов этих кругов была не меньше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №22. Дано натуральное число

$n$ . Множество

$A$ , составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа

$m$ , не превосходящего

$n$ , во множестве

$A$ есть число, делящееся на

$m$ . Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества

$A$ ? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №23. Точка

$M$ — середина основания

$AD$ трапеции

$ABCD$ . На отрезке

$BM$ отмечена точка

$E$ . Оказалось, что

$\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$ . Докажите, что треугольник

$BCE$ — равнобедренный. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №24. Биссектриса угла

$B$ параллелограмма

$ABCD$ пересекает диагональ

$AC$ в точке

$E,$ а внешняя биссектриса угла

$B$ пересекает прямую

$AD$ в точке

$F.$ Точка

$M$ — середина отрезка

$BE.$ Докажите, что прямые

$CM$ и

$EF$ параллельны. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №25. В треугольнике

$ABC$ проведены биссектрисы

$BK$ и

$CL$ . На отрезке

$BK$ отмечена точка

$N$ так, что

$LN \parallel AC.$ Оказалось, что

$NK = LN$ . Найдите величину угла

$ABC$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №26. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$D$ . На стороне

$AB$ выбрана точка

$P$ . Отрезки

$PC$ и

$AD$ пересекаются в точке

$Q$ . Точка

$R$ — середина отрезка

$AP$ . Докажите, что существует фиксированная точка

$X$ , через которую прямая

$RQ$ проходит при любом выборе точки

$P$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №27. Дан равносторонний треугольник

$ABC$ . Точка

$D$ выбрана на продолжении стороны

$AB$ за точку

$A$ , точка

$E$ — на продолжении

$BC$ за точку

$C$ , а точка

$F$ — на продолжении

$AC$ за точку

$C$ так, что

$CF = AD$ и

$AC+EF = DE$ . Найдите угол

$BDE$ . ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №28. Точки

$M$ и

$N$ — середины биссектрис

$AK$ и

$CL$ треугольника

$ABC$ соответственно. Докажите, что угол

$ABC$ прямой тогда и только тогда, когда

$\angle MBN = 45^\circ$ . ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №29. Внутри параллелограмма

$ABCD$ отмечена точка

$E,$ лежащая на биссектрисе угла

$A,$ и точка

$F,$ лежащая на биссектрисе угла

$C.$ Известно, что середина отрезка

$BF$ лежит на отрезке

$AE.$ Докажите, что середина отрезка

$DE$ лежит на прямой

$CF.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №30. Будем говорить, что мы укоротили число, если стерли его последнюю цифру. Натуральное число, большее миллиона, таково, что если укоротить его, получится квадрат натурального числа, если укоротить этот квадрат, получится куб натурального числа, укоротив этот куб, получим четвёртую степень натурального числа, а, укоротив эту четвёртую степень, получим пятую степень натурального числа. Докажите, что если укоротить эту пятую степень, то получится шестая степень натурального числа. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №31. Вершина

$C$ равнобедренной трапеции

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) лежит на основании

$AE$ прямоугольного равнобедренного треугольника

$ADE$ . Докажите, что прямая

$CD$ перпендикулярна прямой

$BE$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №32. Сторона

$BC$ выпуклого четырехугольника

$ABCD$ видна из середины

$M$ его стороны

$AD$ под углом

$90^\circ$ . Биссектрисы треугольника

$BMC$ пересекаются в точке

$I$ . Известно, что

$\angle ABM = \angle MIC$ и

$\angle BIM = \angle MCD$ . Докажите, что

$AI = DI$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №33. В каждой клетке доски

$2\times 200$ лежит по рублёвой монете. Даша и Соня играют, делая ходы по очереди, начинает Даша. За один ход можно выбрать любую монету и передвинуть её: Даша двигает монету на соседнюю по диагонали клетку, Соня — на соседнюю по стороне. Если две монеты оказываются в одной клетке, одна из них тут же снимается с доски и достаётся Соне. Соня может остановить игру в любой момент и забрать все полученные деньги. Какой наибольший выигрыш она может получить, как бы ни играла Даша? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №34. На биссектрисе угла

$ABC$ отмечена точка

$D$ . На отрезке

$AB$ отмечена точка

$E$ , а на отрезке

$BC$ — точка

$F$ , причём

$AB = DE$ и

$BC = DF$ . Докажите, что из отрезков

$AD$ ,

$CD$ и

$EF$ можно сложить треугольник. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №35. На экране калькулятора горит число 41. За одну операцию можно увеличить или уменьшить число на экране на 33 или 34. При этом запрещается получать числа, меньшие 1, и числа, большие 99. Через 2025 операций на экране оказалось число 50. Докажите, что в некоторый момент на экране было число 67. ( И. Рубанов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №36. На доску записали несколько (больше одного) последовательных натуральных чисел. Могло ли так случиться, что и сумма всех четных выписанных чисел — квадрат натурального числа, и сумма всех нечетных выписанных чисел — квадрат натурального числа? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №37. Прямая пересекает основание

$AC$ равнобедренного треугольника

$ABC$ в точке

$D$ , боковую сторону

$AB$ в точке

$E$ и луч

$CB$ в точке

$F$ , причем

$\angle ADE=\angle CDB$ . Докажите, что площади треугольников

$BCE$ и

$AEF$ равны. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №38. Дано натуральное число

$n$ . Докажите, что при некотором натуральном

$m$ у числа

$m^3+m$ ровно один или ровно два различных простых делителя, больших

$n$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №39. По кругу расставлены 2025 ненулевых чисел. Может ли для любых пяти подряд идущих чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ быть выполнено равенство

$ab+de=bd?$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада