Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур регионального этапа

На средней линии равностороннего треугольника $ABC,$ параллельной стороне $BC,$ взята точка $D.$ Точка $E$ на продолжении стороны $BA$ за точку $A$ такова, что $\angle ECA = \angle DCA.$ Точка $F$ на продолжении стороны $CA$ за точку $A$ такова, что $\angle FBA = \angle DBA.$ Докажите, что точка $A$ лежит на средней линии треугольника $DEF,$ параллельной стороне $EF.$ ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим через $P$ и $Q$ середины сторон $AB$ и $AC,$ а через $M$ и $N$ — точки, в которых $DE$ и $DF$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ соответственно. Тогда треугольник $DPB$ будет подобен треугольнику $FAB$ по двум углам ($\angle DBP = \angle FBA$ по условию, $\angle BPD = \angle BAF = 120^\circ$) с коэффициентом 2, поскольку $AB = 2PB.$ Тогда по свойству биссектрисы $DN/NF = DB/BF = 1/2.$ Аналогично $DM/ME = 1/2.$ Следовательно, $S_{FAE} = 2S_{FDA}$ (так как сторона $AF$ у треугольников общая, а отношение опущенных на нее высот равно $DM/ME = 1/2$) и, аналогично, $S_{FAE} = 2S_{EDA},$ откуда $S_{FDE} = 2S_{FAE},$ и потому высота из вершины $A$ на $EF$ вдвое меньше высоты из вершины $D$ на $EF,$ откуда и вытекает утверждение задачи.