Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2019-2020 учебный год, II тур регионального этапа


На средней линии равностороннего треугольника ABC, параллельной стороне BC, взята точка D. Точка E на продолжении стороны BA за точку A такова, что ECA=DCA. Точка F на продолжении стороны CA за точку A такова, что FBA=DBA. Докажите, что точка A лежит на средней линии треугольника DEF, параллельной стороне EF. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Обозначим через P и Q середины сторон AB и AC, а через M и N — точки, в которых DE и DF пересекают стороны AC и AB соответственно. Тогда треугольник DPB будет подобен треугольнику FAB по двум углам (DBP=FBA по условию, BPD=BAF=120) с коэффициентом 2, поскольку AB=2PB. Тогда по свойству биссектрисы DN/NF=DB/BF=1/2. Аналогично DM/ME=1/2. Следовательно, SFAE=2SFDA (так как сторона AF у треугольников общая, а отношение опущенных на нее высот равно DM/ME=1/2) и, аналогично, SFAE=2SEDA, откуда SFDE=2SFAE, и потому высота из вершины A на EF вдвое меньше высоты из вершины D на EF, откуда и вытекает утверждение задачи.