Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа


Точка N — середина стороны BC треугольника ABC, в котором ACB=60. Точка M на стороне AC такова, что AM=BN. Точка K — середина отрезка BM. Докажите, что AK=KC. ( А. Кузнецов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Достроим треугольник MCN до параллелограмма NCML. В треугольнике AML LM=NC=BN=AM, AML=BCM=60. Следовательно, треугольник AML — равносторонний. Отсюда AL=NC и ALK=ALM+NLM=60+60=120=KNC. Кроме того, отрезок LM параллелен и равен отрезку BN, так что BNML — параллелограмм, а K — точка пересечения его диагоналей, откуда LK=KN. Значит, треугольники ALK и CNK равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AK=KC.

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2.     Достроим треугольник AMB до параллелограмма AMTB; тогда K — точка пересечения его диагоналей. Из параллельности имеем CBT=BCA=60; кроме того, BT=AM=BC/2. Значит, треугольник BTC — прямоугольный с прямым углом T, то есть TCBTBC. Поэтому и треугольник ACT тоже прямоугольный, и его медиана CK равна половине гипотенузы, то есть равна AK.

  2
2 года 4 месяца назад #

Пусть H основание высоты из вершины B тогда CH=BC/2=AM и MK=HK отсюда легко увидеть AHK=CMK значит AK=KC