Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, II тур регионального этапа
Комментарий/решение:
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1. Достроим треугольник MCN до параллелограмма NCML. В треугольнике AML LM=NC=BN=AM, ∠AML=∠BCM=60∘. Следовательно, треугольник AML — равносторонний. Отсюда AL=NC и ∠ALK=∠ALM+∠NLM=60∘+60∘=120∘=∠KNC. Кроме того, отрезок LM параллелен и равен отрезку BN, так что BNML — параллелограмм, а K — точка пересечения его диагоналей, откуда LK=KN. Значит, треугольники ALK и CNK равны по двум сторонам и углу между ними, откуда AK=KC.
Комментарии от администратора Комментарии от администратора №2. Достроим треугольник AMB до параллелограмма AMTB; тогда K — точка пересечения его диагоналей. Из параллельности имеем ∠CBT=∠BCA=60∘; кроме того, BT=AM=BC/2. Значит, треугольник BTC — прямоугольный с прямым углом T, то есть TC⊥BT∥BC. Поэтому и треугольник ACT тоже прямоугольный, и его медиана CK равна половине гипотенузы, то есть равна AK.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.