Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год

Диагонали $AC$ и $BD$ вписанного четырехугольника $ABCD$ пересекаются в точке $P$ под прямым углом. Точка $Q$ на отрезке $PC$ выбрана так, что $AP=QC$. Докажите, что периметр треугольника $BQD$ не меньше чем $2AC$. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

$BP=a,PD=b,AP=QC=c,PQ=d$

$ab=c(d+c)=cd+c^2 \Rightarrow c^2+dc-ab=0 \Rightarrow c=\frac{-d+\sqrt{d^2+4ab}}{2}$

Надо доказать то, что $a+b+\sqrt{a^2+d^2} + \sqrt{b^2+d^2}\ge2c+d \Rightarrow$

$a+b+\sqrt{a^2+d^2} + \sqrt{b^2+d^2}\ge\sqrt{d^2+4ab}$

Возведем обе части в квадрат: $(LHS)^2\ge a^2+b^2+a^2+d^2+b^2+d^2 \ge d^2+4ab$

Используя $a^2+b^2\ge2ab:$

$a^2+b^2+a^2+d^2+b^2+d^2 \ge 4ab+2d^2 \ge d^2 + 4ab \Rightarrow d^2\ge0$