1. Все олимпиады
  2. Математика
  3. Дистанционные олимпиады
  4. Олимпиада им. Леонарда Эйлера
  5. Дистанционный этап
  6. XI олимпиада (2018-2019 учебный год)
  7. 1 тур

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2018-2019 учебный год, I тур дистанционного этапа


Задача №1.  Таблица $70\times 70$ заполнена числами от 1 до 4900: в первой строке слева направо выписаны числа от 1 до 70 в порядке возрастания; во второй строке точно так же выписаны числа от 71 до 140, и т.д.; в последней строке слева направо выписаны числа от 4831 до 4900. Можно ли в этой таблице найти такую клеточку, что сумма пяти чисел, находящихся в ней и четырёх клеточках, соседних с ней по сторонам, равна 2018? ( А. Солынин )
комментарий/решение(1)
Задача №2.  За круглым столом сидят 100 человек. Каждый из них либо рыцарь, либо лжец, либо чудак. Рыцарь всегда говорит правду, лжец всегда лжет. Чудак говорит правду, если слева от него сидит лжец; ложь, если слева от него сидит рыцарь; все что угодно, если слева от него сидит чудак. Каждый сказал: «Справа от меня сидит лжец». Сколько за столом лжецов? Перечислите все возможные ответы и докажите, что других нет. ( В. Мигрин )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  В трапеции $ABCD$ боковая сторона $AB$ равна диагонали $BD.$ Точка $M$ — середина диагонали $AC$. Прямая $BM$ пересекает отрезок $CD$ в точке $E.$ Докажите, что $BE = CE.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)
Задача №4.  На парковке стоят машины. Среди них есть машины марок «Тойота», «Хонда», «Шкода», а также машины других марок. Известно, что не «Хонд» в полтора раза больше, чем не красных машин; не «Шкод» в полтора раза больше, чем не желтых машин; наконец, не «Тойот» вдвое меньше, чем красных и желтых машин вместе. Докажите, что «Тойот» не меньше, чем «Хонд» и «Шкод» вместе. ( А. Солынин )
комментарий/решение(2)
Задача №5.  Кузнечик начинает движение в левой верхней клетке квадрата $10\times 10.$ Он может прыгать на одну клетку вниз или вправо. Кроме того, кузнечик может из самой нижней клетки любого столбца перелететь в самую верхнюю клетку того же столбца, а из самой правой клетки любой строки перелететь в самую левую клетку той же строки. Докажите, что кузнечику понадобится хотя бы 9 перелетов, чтобы побывать на каждой клетке квадрата хотя бы по одному разу.
комментарий/решение(4)