Математикадан Эйлер олимпиадасы, 2018-2019 оқу жылы, Дистанциялық кезеңнің 1-ші туры

Есеп №1. Өлшемі $70\times 70$ кесте 1-ден 4900-ға дейінгі сандармен толтырылған. Бірінші жолда солдан оңға қарай 1-ден 70-ке дейінгі сандары өсу ретімен; екінші жолда дәл солай 71-ден 140-қа дейінгі, және т.с.с.; соңғы жолда солдан оңға қарай 4831-ден 4900-ға дейінгі сандар жазылған. Осы кестеде келесі шартты қанағаттандыратын шаршы табуға болады ма: сол шаршыдағы және оған қабырға бойынша көрші тұрған төрт шаршылардағы сандардың қосындысы (барлығы бес қосынды) 2018-ге тең? ( А. Солынин )
комментарий/решение(1)

Есеп №2. Дөңгелек үстел бойында 100 адам отыр. Олардың әрқайсысы немесе сері, немесе өтірікші, немесе қылжақ. Сері үнемі шындықты, өтірікші үнемі өтірік айтады. Егер қылжақтың сол жағында өтірікші отырса, ол шындықты айтады; егер сол сері отырса, өтірік айтады; егер қылжақ отырса, өтірікті де шындықты да айтуы мүмкін. 100 адамның әрқайсысы «Менің оң жағымда өтірікші отыр» деді. Үстел бойында қанша өтірікші отыр? Барлық мүмкін жауапты көрсетіңіз, және басқа жауап жоқ екенін дәлелдеңіз. ( В. Мигрин )
комментарий/решение(1)

Есеп №3. $ABCD$ трапециясының $AB$ бүйір қабырғасы $BD$ диагональіне тең. $M$ нүктесі $AC$ диагональінің ортасы. $BM$ түзуі $CD$ кесіндісін $E$ нүктесінде қияды. $BE = CE$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1)

Есеп №4. Автотұрақта машиналар тұр. Олардың арасында «Тойота», «Хонда», «Шкода» маркалы, сондай-ақ маркасы басқа машиналар да бар. Маркасы «Хонда» емес машиналардың саны түсі қызыл емес машиналар санынан бір жарым есе артық, маркасы «Шкода» емес машиналардың саны түсі сары емес машиналар санынан бір жарым есе артық, ал маркасы «Тойота» емес машиналардың саны түсі сары және қызыл машиналардың жалпы санынан екі есе аз екені белгілі. «Тойота»-лардың саны «Хонда» мен «Шкода»-лардың жалпы санынан кем емес екенін дәлелдеңіздер. ( А. Солынин )
комментарий/решение(2)

Есеп №5. Шегіртке қозғалысты $10\times 10$ тор тақтаның жоғарғы сол шаршысынан бастайды. Ол бір шаршы төмен немесе бір шаршы оңға секіре алады. Сонымен қатар, шегіртке кез келген бағанның ең төменгі шаршысынан осы бағанның ең жоғары шаршысына ұшып бара алады; және кез келген қатардың ең оң шаршысынан осы қатардың ең сол шаршысына ұшып бара алады. Шегірткеге тақтаның әр шаршысында кемінде бір реттен болып шығу үшін, оған кемінде 9~рет ұшу керек екенін дәлелдеңіздер.
комментарий/решение(4)