Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2017 год

В равнобедренном треугольнике $ABC$ проведена биссектриса $BL$. На основании $BC$ выбрана точка $D$, а на боковой стороне $AB$ — точка $E$ так, что $AE={1\over 2}AL=CD$. Докажите, что $LE = LD$. ( А. Кузнецов )

Комментарий/решение

Возьмем точку $F$ на стороне $AB$ так, что $FL||BC$.

Используя свойство биссектрисы и $\triangle AFL \sim \triangle ABC:$

$\frac{CL}{BC} = \frac{AL}{AB} = \frac{FL}{BC}$ $\Rightarrow$ $FL=CL$

$FL=CL , EF=AE=DC , \angle EFL = \angle LCD \Rightarrow \triangle EFL = \triangle DCL \Rightarrow LE=LD$