А. Кузнецов

Есеп №1. Іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$AC$ және

$BD$ диагональдары тік бұрыш жасап,

$P$ нүктесінде қылысады.

$AP=QC$ болатындай,

$PC$ кесіндісінде

$Q$ нүктесі алынды.

$BQD$ үшбұрышының периметрі

$2AC$ -дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$ABC$ тең бүйірлі үшбұрышында

$BL$ биссектрисасы салынды.

$AE=\frac{1}{2}AL=CD$ болатындай

$BC$ табанында

$D$ нүктесі, ал

$AB$ бүйір қабырғасында

$E$ нүктесі алынды.

$LE=LD$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. Іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$AC$ және

$BD$ диагональдары тік бұрыш жасап,

$P$ нүктесінде қылысады.

$AP=QC$ болатындай,

$PC$ кесіндісінде

$Q$ нүктесі алынды.

$BQD$ үшбұрышының периметрі

$2AC$ -дан кем емес екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4.

$ABCD$ тіктөртбұрышының

$AD$ қабырғасының созындысында,

$D$ нүктесінен кейін

$E$ нүктесі белгіленді.

$EC$ сәулесі,

$ABE$ үшбұрышына сырттай сызылған

$\omega$ шеңберін екінші рет

$F$ нүктесінде қияды.

$DC$ және

$AF$ сәулелері

$P$ нүктесінде қиылысады.

$E$ нүктесі арқылы өтетін

$\ell$ түзуіне,

$AF$ түзуіне параллель

$CH$ перпендикуляры салынды.

$PH$ түзуі

$\omega$ шеңберімен жанасатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №5. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышының диагональдары

$E$ нүктесінде қиылысады.

$AB = BC = CD = DE = 1$ екені белгілі.

$AD < 2$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$\angle A = \angle C=100^\circ$ .

$AB$ және

$BC$ қабырғаларынан

$AX = CY$ болатындай сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелері белгіленген. Сонда

$YD$ түзуі

$ABC$ бұрышының биссектрисасына параллель болып шыққан.

$AXY$ бұрышын табыңыз. ( С. Берлов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышының бүйір

$AB$ және

$AC$ қабырғаларынан

$PQ \parallel BC$ болатындай сәйкесінше

$P$ және

$Q$ нүктелері белгіленген.

$ABC$ және

$APQ$ үшбұрыштарының

$B$ және

$Q$ төбелерінен шығатын биссектрисалардан

$XY \parallel BC$ болатындай сәйкесінше

$X$ және

$Y$ нүктелері белгіленген.

$PX = CY$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №8. Внутри параллелограмма

$ABCD$ выбрана точка

$E$ так, что

$AE = DE$ и

$\angle ABE = 90^\circ.$ Точка

$M$ --- середина отрезка

$BC.$ Найдите угол

$DME.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9.

$ACEF$ параллелограммының

$F$ төбесі,

$ABCD$ параллелограммының

$BC$ қабырғасында жатыр.

$AC=AD$ және

$AE=2CD$ екені белгілі.

$\angle CDE=\angle BEF$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №10. Четырехугольник

$ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке

$O$ . Касательные к этой окружности в точках

$A$ и

$C$ вместе с прямой

$BD$ образуют треугольник

$\Delta$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$BOD$ и

$\Delta$ касаются. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №11. Четырехугольник

$ABCD$ , диагонали которого перпендикулярны, вписан в окружность с центром в точке

$O$ . Касательные к этой окружности в точках

$A$ и

$C$ вместе с прямой

$BD$ образуют треугольник

$\Delta$ . Около треугольника

$OAC$ описана окружность

$\omega$ . Докажите, что описанные окружности треугольников

$BOD$ и

$\Delta$ касаются и их точка касания лежит на окружности

$\omega$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №12.

$ABCD$ трапециясының

$AB$ бүйір қабырғасы

$BD$ диагональіне тең.

$M$ нүктесі

$AC$ диагональінің ортасы.

$BM$ түзуі

$CD$ кесіндісін

$E$ нүктесінде қияды.

$BE = CE$ екенін дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13.

$M$ және

$N$ нүктелері

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$AB$ және

$BC$ қабырғаларының ортасы.

$CM$ кесіндісінің

$M$ нүктесінен арғы созындысында

$D$ нүктесі белгіленген. Сонда

$BC = BD = 2$ және

$AN = 3$ болып шыққан.

$\angle ADC = 90^\circ$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №14. Дана трапеция

$ABCD$ с основаниями

$BC$ и

$AD$ . Точки

$B'$ и

$C'$ симметричны точкам

$B$ и

$C$ относительно прямых

$CD$ и

$AB$ соответственно. Докажите, что середина отрезка, соединяющего центры описанных окружностей треугольников

$ABC'$ и

$B'CD$ , равноудалена от точек

$A$ и

$D$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №15. В треугольнике

$ABC$ угол при вершине

$B$ тупой,

$AB\ne BC$ . Точка

$O$ — центр описанной окружности

$\omega$ этого треугольника,

$N$ — середина дуги

$ABC$ . Окружность, описанная около треугольника

$BON$ , пересекает отрезок

$AC$ в точках

$X$ и

$Y$ . Лучи

$BX$ и

$BY$ вторично пересекают окружность

$\omega$ в точках

$Z$ и

$T$ . Докажите, что точка, симметричная точке

$N$ относительно прямой

$AC$ , лежит на прямой

$ZT$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №16. Треугольник

$ABC$ , в котором

$AB < AC$ , вписан в окружность

$\omega$ . Окружности

$\gamma_1$ и

$\gamma_2$ касаются прямых

$AB$ и

$AC$ , а их центры лежат на окружности

$\omega$ . Докажите, что точка

$C$ лежит на общей внешней касательной к окружностям

$\gamma_1$ и

$\gamma_2$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №17. Саша, Андрей және Оля бір натурал саннан айтты. Олардың әрқайсысы өз санын қалған екі баланың таңдаған сандарына көбейтіп, екі көбейтіндінің үлкенінен кішісін азайтты. Сашада азайтынды 1-ге, ал Андрейде азайтынды 121-ге тең болды. Оляда қандай азайтынды шыққан? Барлық мүмкін жауаптарды көрсетіңіз және басқа жауап жоқ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №18. Периметр треугольника

$ABC$ равен 2. На стороне

$AC$ отмечена точка

$P,$ а на отрезке

$CP$ — точка

$Q$ так, что

$2AP = AB$ и

$2QC = BC.$ Докажите, что периметр треугольника

$BPQ$ больше 1. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №19. Точка

$N$ — середина стороны

$BC$ треугольника

$ABC,$ в котором

$\angle ACB = 60^\circ$ . Точка

$M$ на стороне

$AC$ такова, что

$AM = BN.$ Точка

$K$ — середина отрезка

$BM.$ Докажите, что

$AK = KC.$ ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №20. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасына параллель орта сызығында

$D$ нүктесі белгіленген.

$BA$ қабырғасының

$A$ нүктесінен ары созындысынан

$\angle ECA = \angle DCA$ болатындай

$E$ ,

$CA$ қабырғасының

$A$ нүктесінен ары созындысынан

$\angle FBA = \angle DBA$ болатындай

$F$ нүктесі алынған.

$A$ нүктесі

$DEF$ үшбұрышының

$EF$ қабырғасына параллель болатын орта сызығында жататынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №21. Алдымен Саша, квадраттың қабырғасында жатқан екі нүктені түзу сызықпен қосу арқылы, қабырғасы 2-ге тең болатын квадратты 2020 бөлікке бөледі. Одан кейін Дима әр бөліктен дөңгелекті кесіп алады. Дима осы дөңгелектердің радиустарының қосындысы әрқашан да 1-ден кем болмайтындай етіп кесу жүргізе алатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №22. Дано натуральное число

$n$ . Множество

$A$ , составленное из натуральных чисел, таково, что для любого натурального числа

$m$ , не превосходящего

$n$ , во множестве

$A$ есть число, делящееся на

$m$ . Какое наименьшее значение может принимать сумма всех элементов множества

$A$ ? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №23. Точка

$M$ — середина основания

$AD$ трапеции

$ABCD$ . На отрезке

$BM$ отмечена точка

$E$ . Оказалось, что

$\angle ADB = \angle MAE = \angle BMC$ . Докажите, что треугольник

$BCE$ — равнобедренный. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №24. Биссектриса угла

$B$ параллелограмма

$ABCD$ пересекает диагональ

$AC$ в точке

$E,$ а внешняя биссектриса угла

$B$ пересекает прямую

$AD$ в точке

$F.$ Точка

$M$ — середина отрезка

$BE.$ Докажите, что прямые

$CM$ и

$EF$ параллельны. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №25.

$ABC$ үшбұрышында

$BK$ және

$CL$ биссектриссалары жүргізілген.

$BK$ кесіндісінде

$N$ нүктесі алынған солай,

$LN \parallel AC$ болатындай.

$NK = LN$ екені белігілі болды.

$ABC$ бұрышының өлшемін табыңыз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №26. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ отмечена точка

$D$ . На стороне

$AB$ выбрана точка

$P$ . Отрезки

$PC$ и

$AD$ пересекаются в точке

$Q$ . Точка

$R$ — середина отрезка

$AP$ . Докажите, что существует фиксированная точка

$X$ , через которую прямая

$RQ$ проходит при любом выборе точки

$P$ . ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №27. Теңқабырғалы

$ABC$ үшбұрышы берілген.

$AB$ қабырғасының

$A$ -дан ары қарай созындысынан

$D$ ,

$BC$ қабырғасының

$C$ -дан ары қарай созындысынан

$E$ , ал

$AC$ қабырғасының

$C$ -дан ары қарай созындысынан

$F$ нүктелері

$CF=AD$ және

$AC+EF=DE$ болатындай алынған.

$BDE$ бұрышын табыңыз. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №28.

$M$ және

$N$ нүктелері —

$ABC$ үшбұрышының сәйкесінше

$AK$ және

$CL$ биссектрисаларының орталары.

$\angle ABC=90^\circ$ теңдігі тек

$\angle MBN=45^\circ$ болғанда және тек сол жағдайда ғана орындалатынын дәлелдендер. ( методкомиссия, А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №29.

$ABCD$ параллелограммының ішінде

$A$ бұрышының биссектрисасында жатқан

$E$ нүктесі және

$C$ бұрышының биссектрисасында жатқан

$F$ нүктесі белгіленген.

$BF$ кесіндісінің ортасы

$AE$ кесіндісінде жатыр.

$DE$ кесіндісінің ортасы

$CF$ түзуінде жатқанын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №30. Егер санның соңғы цифрын өшірсек, біз оны қысқарттық деп айтамыз. Миллионнан үлкен натурал сан келесі қасиетке ие: егер оны қысқарсақ, натурал санның квадратын аламыз, егер осы квадратты қысқарсақ, натурал санның кубын аламыз, осы кубты қысқарсақ, натурал санның төртінші дәрежесі болатын санды аламыз, ал осы төртінші дәрежелі санды қысқарсақ, натурал санның бесінші дәрежесі болатын санды аламыз. Осы бесінші дәрежелі санды қысқарсақ, натурал санның алтыншы дәрежесі болатын сан алатынымызды дәлелдеңіздер. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №31. Теңбүйірлі

$ABCD$ (

$AD \parallel BC$ ) трапециясының

$C$ төбесі тікбұрышты әрі теңбүйірлі

$ADE$ үшбұрышының

$AE$ табанында жатыр.

$CD$ мен

$BE$ түзулері өзара перпендикуляр екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №32. Дөңес

$ABCD$ төртбұрышында

$M$ нүктесі

$AD$ қабырғасының ортасы.

$BMC$ үшбұрышының биссектрисалары

$I$ нүктесінде қиылысады. Егер

$\angle BMC=90^\circ$ ,

$\angle ABM = \angle MIC$ және

$\angle BIM = \angle MCD$ екені белгілі болса,

$AI = DI$ екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №33.

$2\times 200$ тақтаның әр ұяшығында 1 рублдік тиын бар. Даша мен Соня келесі ойын ойнауда. Олар кезекпен жүреді, ойынды Даша бастайды. Бір жүрісте кез келген тиынды таңдап, оны әр ойыншыға келесідей жылжытуға болады: Даша тиынды диагональ бойынша көрші ұяшыққа, ал Соня тиынды қабырға бойынша көрші ұяшыққа жылжыта алады. Егер екі тиын бір ұяшыққа түссе, онда сол мезетте Соня сол тиынның біреуін өзіне алып алады. Оған қоса Соня ойынды кез келген уақытта тоқтатып, ол алған барлық ақшаны өзімен алып кете алады. Дашаның ойынына қарамастан, Соня ең көп дегенде неше рубль жеңіп ала алады? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №34.

$ABC$ бұрышының биссектрисасында

$D$ нүктесі белгіленген.

$AB = DE$ және

$BC = DF$ болатындай

$AB$ кесіндісінде

$E$ , ал

$BC$ кесіндісінде

$F$ нүктесі белгіленген.

$AD$ ,

$CD$ және

$EF$ кесінділерінен үшбұрыш құрастыруға болатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №35. Калькулятор экраны 41 санын көрсетіп тұр. Бір операцияда экрандағы санды 33-ке немесе 34-ке ұлғайтуға немесе кемітуге болады, бірақ экранда 1-ден кіші және 99-дан үлкен санды алуға рұқсат етілмейді. 2025 операциядан кейін экрандағы сан 50-ге тең болған. Қандай да бір мезетте экранда 67-ге тең сан болғанын дәлелдеңіз. ( И. Рубанов, А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №36. Тақтада қатар келген бірнеше (кемінде екі) натурал сан жазылған. Жазылған барлық жұп сандардың қосындысы натурал санның квадраты, және барлық жазылған тақ сандардың қосындысы да натурал санның квадраты болуы мүмкін бе? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №37. Теңбүйірлі

$ABC$ үшбұрышы берген. Қандай да бір түзу

$AC$ табанын

$D$ ,

$AB$ қабырғасын

$E$ және

$CB$ сәулесін

$F$ нүктесінде қиып өтеді. Егер

$\angle ADE=\angle CDB$ болса,

$BCE$ және

$AEF$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №38. Натурал

$n$ саны берілген.

$m^3+m$ санының дәл бір немесе дәл екі (әртүрлі) жай бөлгіші

$n$ -нен артық болатындай, натурал

$m$ санының табылатынын дәлелдеңіз. ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №39. Шеңбер бойында әрқайсысы нөлге тең емес 2025 сан жазылған. Қандай болмасын, кез келген бес қатар тұрған

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ ,

$e$ сандардын алсақ, олар үшін

$ab+de=bd$ теңдігі орындалуы мүмкін бе? ( А. Кузнецов )
комментарий/решение(3) олимпиада