қазақша
русскийН. Седракян
Задача №1. На некоторых клетках прямоугольной таблицы $m\times n$ $(m,n > 1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №2. Четырехугольник $ABCD$ вписан в окружность $\omega $. Диагонали $AC$ и $BD$ пересекаются в точке $O$. На отрезках $AO$ и $DO$ выбраны точки $E$ и $F$ соответственно. Прямая $EF$ пересекает $\omega $ в точках ${{E}_{1}}$ и ${{F}_{1}}$. Описанные окружности треугольников $ADE$ и $BCF$ пересекают отрезок $EF$ в точках ${{E}_{2}}$ и ${{F}_{2}}$ соответственно (считайте, что все точки $E$, $F$, $E_1$, $F_1$, $E_2$ и $F_2$ различны). Докажите, что ${{E}_{1}}{{E}_{2}}={{F}_{1}}{{F}_{2}}$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №3. Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №4. Множество натуральных чисел разбито на непересекающиеся множества $N_1$ и $N_2$ такие, что разность чисел, лежащих в одном множестве, не является простым числом, большим 100. Найдите все такие разбиения. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №5. В пространстве даны правильный тетраэдр $ABCD$ и произвольные точки $M$ и $N$. Докажите неравенство $$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$$ (Тетраэдр называется правильным, если все шесть его рёбер равны.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №6. Для каждого натурального $k$ обозначим через $C(k)$ сумму всех различных простых делителей числа $k$. Например, $C(1)=0$, $C(2)=2$, $C(45)=8$. Найдите все натуральные $n$, для которых $C(2^n+1)=C(n)$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №7. Дан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$, в котором $AB\parallel DE$, $BC\parallel EF$, $CD\parallel FA$. Точки $M$, $N$ и $K$ — точки пересечения прямых $BD$ и $AE$, $AC$ и $DF$, $CE$ и $BF$ соответственно. Докажите, что перпендикуляры, проведенные из точек $M$, $N$ и $K$ к прямым $AB$, $CD$ и $EF$ соответственно, пересекаются в одной точке. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №8. Числа $a_1$, $a_2$, $\ldots$, $a_{100}$ — перестановка чисел от 1 до 100. Пусть ${S_1} = {a_1},$ $ {S_2} = {a_1} + {a_2},$ ${S_{100}} = {a_1} + {a_2} + \ldots {a_{100}}.$ Какое наибольшее количество точных квадратов могло оказаться среди чисел $S_1$, $S_2$, $\ldots$, $S_{100}$? ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №9. Площадь выпуклого пятиугольника $ABCDE$ равна $S$, а радиусы описанных окружностей треугольников $ABC$, $BCD$, $CDE$, $DEA$ и $EAB$ — $R_1$, $R_2$, $R_3$, $R_4$ и $R_5$. Докажите неравенство $R_1^4 + R_2^4 + R_3^4 + R_4^4 + R_5^4 \geq \dfrac{4}{{5{{\sin }^2}{{108}^\circ }}}{S^2}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №10. Точка $M$ лежит внутри треугольника $ABC$. Прямая $BM$ пересекает сторону $AC$ в точке $N$. Точка $K$ симметрична $M$ относительно $AC$. Прямая $BK$ пересекает $AC$ в точке $P$. Докажите, что если $\angle AMP=\angle CMN$, то $\angle ABP=\angle CBN$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №11. Докажите неравенство $a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №12. В окружность с радиусом $R$ вписан выпуклый шестиугольник $ABCDEF$. Диагонали $AD$ и $BE$, $BE$ и $CF$, $AD$ и $CF$ шестиугольника $ABCDEF$ пересекаются в точках $M$, $N$ и $K$ соответственно. Пусть $r_1$, $r_2$, $r_3$, $r_4$, $r_5$, $r_6$ -- радиусы окружностей, вписанных в треугольники $ABM$, $BCN$, $CDK$, $DEM$, $EFN$, $AFK$ соответственно. Докажите, что $r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt3 $. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №13. Внутри выпуклого четырехугольника $ABCD$ отмечена точка $M$ такая, что $\angle AMB=\angle ADM+\angle BCM$ и $\angle AMD=\angle ABM+\angle DCM.$ Докажите, что $AM\cdot CM+BM\cdot DM\ge \sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №14. Найдите наибольшее действительное число $C$ такое, что для любых попарно различных положительных действительных чисел $a_1, a_2, \ldots , a_{2019}$ выполнено неравенство $\dfrac{{{a_1}}}{{|{a_2} - {a_3}|}} + \dfrac{{{a_2}}}{{|{a_3} - {a_4}|}} + \ldots + \dfrac{{{a_{2018}}}}{{|{a_{2019}} - {a_1}|}} + \dfrac{{{a_{2019}}}}{{|{a_1} - {a_2}|}} > C.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №15. Выпуклый шестиугольник $ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство $AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада
Задача №16. На доске $n\times n$ ($n>2$) некоторые клетки чёрные, а остальные белые. В каждой белой клетке записано количество чёрных клеток, имеющих с ней хотя бы одну общую вершину. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех записанных чисел. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №17. В треугольник $ABC$ вписана окружность радиуса $r$. Окружности с радиусами $r_1,$ $r_2,$ $r_3$ (здесь $r_1,r_2,r_3 < r$) вписаны в углы $A,$ $B,$ $C$ соответственно так, что каждая из них касается вписанной окружности внешним образом. Докажите, что $r_1+r_2+r_3\geqslant r.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №18. Дано натуральное число $n$. Последовательность $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ действительных чисел называется хорошей, если $x_1^3+x_2^3+\ldots +x_i^3=(x_1+x_2+ \ldots+ x_i)^2$ для каждого $i=1,2, \ldots,n$. Докажите, что количество различных хороших последовательностей не больше чем ${3^{n-1}+2^{n-1}}$. (Последовательности $(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ и $(y_1,y_2, \ldots, y_n)$ считаются различными, если $x_i\ne y_i$ хотя бы для одного $i=1,2, \ldots, n$.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4) олимпиада
Задача №19. Внутри треугольника $ABC$ взята такая точка $M$, что $\max(\angle MAB,\angle MBC,\angle MCA) = \angle MCA$. Докажите, что $\sin \angle MAB+\sin \angle MBC \le 1.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №20. На некоторых клетках прямоугольной таблицы $m\times n$ $(m,n > 1)$ стоит по одной шашке. Малыш разрезал по линиям сетки эту таблицу так, что она распалась на две одинаковые части, при этом количество шашек на каждой части оказались одинаковыми. Карлсон поменял расстановку шашек на доске (причем на каждой части клетке по прежнему стоит не более одной шашки). Докажите, что Малыш может снова разрезать доску на две одинаковые части, содержащие равное количество шашек. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №21. Внутри правильного треугольника со стороной 3 находятся два ромба со сторонами 1,061 и с острыми углами $60^\circ$. Докажите, что эти два ромба пересекаются друг с другом. (Вершины ромба находятся строго внутри треугольника.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада
Задача №22. Внутри правильного треугольника со стороной 3 находятся два ромба со сторонами 1,061 и с острыми углами $60^\circ$. Докажите, что эти два ромба пересекаются друг с другом. (Вершины ромба находятся строго внутри треугольника.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада
Задача №23. Медианы треугольника $ABC$ пересекаются в точке $G$. Среди шести углов $GAB$, $GAC$, $GBA$, $GBC$, $GCA$, $GCB$ есть не менее трёх, каждый из которых не меньше $\alpha$. При каком наибольшем $\alpha$ это могло произойти? ( Н. Седракян, И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Задача №24. Внутри трапеции $ABCD$ $(AD \parallel BC)$ выбрана точка $M$, а внутри треугольника $BMC$ точка $N$ так, что $AM \parallel CN$, $BM \parallel DN$. Докажите, что у треугольников $ABN$ и $CDM$ площади равны. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(5) олимпиада