Н. Седракян

Есеп №1. Өлшемі

$m\times n$ болатын тақтаның кейбір шаршыларына дойбы тастары бір-бірден қойылған. Балақай тақтаны тор сызықтарының бойымен қиған кезде, ол екі тең бөлікке бөлінді және екі бөліктегі дойбы тастарының саны өзара тең болды. Карлсон дойбы тастарын орындарынан жылжытып, олардың тақтадағы қойылымын өзгертті (бірақ бұрынғыдай әр шаршыда көп дегенде бір дойбы тасы тұр). Балақай тағы да тақтаны үстіндегі дойбы тастарының саны тең болатындай етіп, екі тең бөлікке бөле алатындығын дәлелде. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №2.

$ABCD$ төртбұрышы

$\omega$ шеңберіне іштей сызылған. Төртбұрыштың

$AC$ және

$BD$ диагональдары

$O$ нүктесінде қиылысады.

$AO$ және

$DO$ кесінділерінде сәйкесінше

$E$ және

$F$ нүктелері белгіленген.

$EF$ түзуі

$\omega$ -ны

${{E}_{1}}$ және

${{F}_{1}}$ нүктелерінде қияды.

$ADE$ және

$BCF$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$EF$ түзуін сәйкесінше

${{E}_{2}}$ және

${{F}_{2}}$ нүктелерінде қияды (

$E$ ,

$F$ ,

$E_1$ ,

$F_1$ ,

$E_2$ және

$F_2$ нүктелерінің барлығы әртүрлі деп санаңыздар).

${{E}_{1}}{{E}_{2}}={{F}_{1}}{{F}_{2}}$ екенін дәлелдеңіздер. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №3. Бір жиында жататын сандар айырмасы 100-ден үлкен емес, әрі жай емес болатындай, натурал сандар қиылыспайтын

${{N}_{1}}$ және

${{N}_{2}}$ жиындарына бөлінген. Осындай барлық бөлінділерді табыңыз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №4. Натурал сандар жиыны, қиылыспайтын

${{N}_{1}}$ және

${{N}_{2}}$ жиындарына, әрбір жиында жататын сандар айырмасы 100-ден үлкен жай сан болмайтындай бөлінген. Осындай барлық бөлінділерді табыңыз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5. Кеңістікте

$M$ және

$N$ нүктелері мен

$ABCD$ дұрыс тетраэдрі берілген. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіз:

$MA\cdot NA+MB\cdot NB+MC\cdot NC\geq MD\cdot ND.$ (Барлық алты қабырғасы өзара тең болатын тетраэдр дұрыс деп аталады.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Әрбір натурал

$k$ саны үшін

$C(k)$ арқылы

$k$ санының әртүрлі жай бөлгіштерінің қосындысын белгілейік. Мысалға,

$C(1)=0$ ,

$C(2)=2$ ,

$C(45)=8$ .

$C(2^n+1)=C(n)$ теңдігін қанағаттандыратын барлық натурал

$n$ сандарын табыңыз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №7.

$AB \parallel DE$ ,

$BC \parallel EF$ және

$CD \parallel FA$ болатын дөңес

$ABCDEF$ алтыбұрышы берілген.

$BD$ мен

$AE$ ,

$AC$ мен

$DF$ және

$CE$ мен

$BF$ түзулерінің қиылысу нүктелерін сәйкесінше

$M$ ,

$N$ және

$K$ деп белгілейік.

$M$ ,

$N$ және

$K$ нүктелерінен сәйкесінше

$AB$ ,

$CD$ және

$EF$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлардың бір нүктеде қиылысатынын дәлелдеңдер. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №8. Бізге

$1, 2, \ldots, 100$ сандарының алмастыруы болатын

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\ldots,$

$a_{100}$ тізбегі берілген.

$S_1 = a_1$ ,

$S_2 = a_1+a_2$ ,

$\ldots,$

$S_{100} = a_1+a_2+\ldots+a_{100}$ деп белгілейік.

$S_1$ ,

$S_2$ ,

$\ldots,$

$S_{100}$ сандарының ішінде ең көп дегенде қанша толық квадрат кездесуі мүмкін? ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №9. Дөңес

$ABCDE$ бесбұрышының ауданы

$S$ -ке тең, ал

$ABC$ ,

$BCD$ ,

$CDE$ ,

$DEA$ және

$EAB$ үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер радиустары

$R_1$ ,

$R_2$ ,

$R_3$ ,

$R_4$ және

$R_5$ -ке тең. Келесі теңсіздікті дәлелдеңіздер

$R_1^4+R_2^4+R_3^4+R_4^4+R_5^4\geq \dfrac{4}{5\sin^2 108^\circ} S^2.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10.

$M$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының ішінде жатыр.

$BM$ түзуі

$AC$ қабырғасын

$N$ нүктеде қияды.

$K$ нүктесі

$M$ -ге

$AC$ -ға қарағандағы симметриялы нүкте.

$BK$ түзуі

$AC$ -ны

$P$ нүктесінде қисын. Егер

$\angle AMP=\angle CMN$ болса, онда

$\angle ABP=\angle CBN$ екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №11. Теріс емес

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары үшін

$a^{12} + (ab)^6 + (abc)^4 +(abcd)^3 \leq 1,\!43(a^{12} + b^{12} + c^{12} + d^{12})$ теңсіздігін дәлелдеңдер. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №12. В окружность с радиусом

$R$ вписан выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ . Диагонали

$AD$ и

$BE$ ,

$BE$ и

$CF$ ,

$AD$ и

$CF$ шестиугольника

$ABCDEF$ пересекаются в точках

$M$ ,

$N$ и

$K$ соответственно. Пусть

$r_1$ ,

$r_2$ ,

$r_3$ ,

$r_4$ ,

$r_5$ ,

$r_6$ -- радиусы окружностей, вписанных в треугольники

$ABM$ ,

$BCN$ ,

$CDK$ ,

$DEM$ ,

$EFN$ ,

$AFK$ соответственно. Докажите, что

$r_1+r_2+r_3+r_4+r_5+r_6\leq R\sqrt3$ . ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №13. Внутри выпуклого четырехугольника

$ABCD$ отмечена точка

$M$ такая, что

$\angle AMB=\angle ADM+\angle BCM$ и

$\angle AMD=\angle ABM+\angle DCM.$ Докажите, что

$AM\cdot CM+BM\cdot DM\ge \sqrt{AB\cdot BC\cdot CD\cdot DA}.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №14. Найдите наибольшее действительное число

$C$ такое, что для любых попарно различных положительных действительных чисел

$a_1, a_2, \ldots , a_{2019}$ выполнено неравенство

$\frac{{{a_1}}}{{|{a_2} - {a_3}|}} + \frac{{{a_2}}}{{|{a_3} - {a_4}|}} + \ldots + \frac{{{a_{2018}}}}{{|{a_{2019}} - {a_1}|}} + \frac{{{a_{2019}}}}{{|{a_1} - {a_2}|}} > C.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6) олимпиада

Есеп №15. Выпуклый шестиугольник

$ABCDEF$ вписан в окружность. Докажите неравенство

$AC\cdot BD\cdot CE\cdot DF\cdot AE\cdot BF\geq 27 AB\cdot BC\cdot CD\cdot DE\cdot EF\cdot FA.$ ( Н. Седракян )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №16. На доске

$n\times n$ (

$n>2$ ) некоторые клетки чёрные, а остальные белые. В каждой белой клетке записано количество чёрных клеток, имеющих с ней хотя бы одну общую вершину. Найдите наибольшее возможное значение суммы всех записанных чисел. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №17.

$ABC$ үшбұрышына радиусы

$r$ болатын шеңбер іштей сызылған. Радиустары

$r_1,$

$r_2,$

$r_3$ болатын шеңберлер (

$r_1,r_2,r_3 < r$ ) сәйкесінше

$A,$

$B,$

$C$ бұрыштарына іштей сызылған және әр шеңбер

$\triangle ABC$ -ға іштей сызылған шеңберді сырттай жанайды.

$r_1+r_2+r_3\geqslant r$ теңсіздігін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №18. Натурал

$n$ саны берілген. Әрбір

$i=1,2, \ldots,n$ үшін

$x_1^3+x_2^3+\ldots +x_i^3=(x_1+x_2+ \ldots+ x_i)^2$ теңдігі орындалатын болса, онда

$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ нақты сандар тізбегі жақсы деп аталады. Әртүрлі жақсы тізбектердің саны

$3^{n-1}+2^{n-1}$ санынан көп емес екенін дәлелдеңіз. (Кем дегенде бір

$i=1,2, \ldots, n$ үшін

$x_i\ne y_i$ болса, онда

$(x_1,x_2, \ldots, x_n)$ және

$(y_1,y_2, \ldots, y_n)$ тізбектері әртүрлі болып саналады.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение(4) олимпиада

Есеп №19.

$ABC$ үшбұрышының ішінен

$\max(\angle MAB,\angle MBC,\angle MCA) = \angle MCA$ болатындай

$M$ нүктесі алынған.

$\sin \angle MAB+\sin \angle MBC \le 1$ екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №20. Өлшемі

Есеп №21. Қабырғасы 3-ке тең дұрыс үшбұрыштың ішінде қабырғасы 1,061-ке тең және сүйір бұрышы

$60^\circ$ -қа тең екі ромб жатыр. Осы екі ромб бір-бірімен қиылысатынын дәлелдеңіз. (Ромбтың төбелері үшбұрыштың ішінде қатаң түрде орналасқан.) ( Н. Седракян )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №22. Қабырғасы 3-ке тең дұрыс үшбұрыштың ішінде қабырғасы 1,061-ке тең және сүйір бұрышы

Есеп №23.

$ABC$ үшбұрышының медианалары

$G$ нүктесінде қиылысады. Алты

$GAB$ ,

$GAC$ ,

$GBA$ ,

$GBC$ ,

$GCA$ ,

$GCB$ бұрыштарының ішінде кемінде үшеуінің әрқайсысы

$\alpha$ -дан кем емес.

$\alpha$ -ның қандай ең үлкен мәнінде осындай жағдай орындала алады? ( Н. Седракян, И. Богданов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №24.

$ABCD$

$(AD \parallel BC)$ трапециясының ішінде

$M$ , ал

$BMC$ үшбұрышының ішінде

$N$ нүктелері

$AM \parallel CN$ және

$BM \parallel DN$ болатындай алынған.

$ABN$ және

$CDM$ үшбұрыштарының аудандары тең екенін дәлелдеңіз. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6) олимпиада