Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Докажите неравенство $a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел $a$, $b$, $c$, $d$. ( Н. Седракян )

Комментарий/решение

Здесь условие не полно. Кажется, после $43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ должно что-то написано. А то неравенство не правильно (при $a=b=c=d=1$).

Очень неприятная задача для глаз.

$$0.25a^{12} +b^{12} \geq (ab)^6$$

$$(!) \ 0.18a^{12}+0.43b^{12}+1.43c^{12}+1.43d^{12}\geq (abc)^4+(abcd)^3$$

$$c^{12}+\frac{1}{3}b^{12}+ \frac{1}{9}a^{12}\geq(abc)^4$$

$$(!) \ \frac{62}{900}a^{12}+\frac{29}{300}b^{12}+\frac{43}{100}c^{12}+1.43d^{12} \geq (abcd)^3$$

Применим $AM \geq GM$, получится что $$\frac{62}{900}a^{12}+\frac{29}{300}b^{12}+\frac{43}{100}c^{12}+1.43d^{12} \geq \sqrt[4]{\frac{62*29*43*143}{27*10^8}}$$

Достаточно доказать что последний коэффицент больше или равен $\frac{1}{4}$, то есть надо доказать что: $$\sqrt[4]{\frac{62*29*43*143}{27*10^8}} \geq \frac{1}{4} \Rightarrow (!) \ 62*29*43*143*256 \geq 10^8*27$$ А это является правдой (можете подсчитать).

На самом деле там выходит строгое неравенство, а пример равенства можно найти если сделать что $a=b=c=d=0$.