Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс
Докажите неравенство a12+(ab)6+(abc)4+(abcd)3≤1,43(a12+b12+c12+d12) для неотрицательных чисел a, b, c, d.
(
Н. Седракян
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Очень неприятная задача для глаз.
0.25a12+b12≥(ab)6
(!) 0.18a12+0.43b12+1.43c12+1.43d12≥(abc)4+(abcd)3
c12+13b12+19a12≥(abc)4
(!) 62900a12+29300b12+43100c12+1.43d12≥(abcd)3
Применим AM≥GM, получится что 62900a12+29300b12+43100c12+1.43d12≥4√62∗29∗43∗14327∗108
Достаточно доказать что последний коэффицент больше или равен 14, то есть надо доказать что: 4√62∗29∗43∗14327∗108≥14⇒(!) 62∗29∗43∗143∗256≥108∗27 А это является правдой (можете подсчитать).
На самом деле там выходит строгое неравенство, а пример равенства можно найти если сделать что a=b=c=d=0.
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.