Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Задача №1. Найдите все пары

$(a;b)$ целых чисел

$a$ и

$b$ , удовлетворяющих равенству

$a^4 - 3a^2 + 4a - 3 = 7 \cdot 3^b.$
комментарий/решение(2)

Задача №2. Биссектриса угла

$A$ треугольника

$ABC$ пересекает сторону

$BC$ в точке

$A_1$ , а описанную окружность в точке

$A_0$ . Аналогично определяются точки

$C_1$ и

$C_0$ . Прямые

$A_0C_0$ и

$A_1C_1$ пересекаются в точке

$P$ . Докажите, что

$PI$ параллельна стороне

$AC$ , где

$I$ — центр вписанной окружности.
комментарий/решение(1)

Задача №3. Докажите неравенство

$a^{12}+(ab)^6+(abc)^4+(abcd)^3\leq 1,\!43(a^{12}+b^{12}+c^{12}+d^{12})$ для неотрицательных чисел

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ . ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6)

Задача №4. Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке

$N$ . Хорды

$BA$ и

$BC$ внешней окружности касаются внутренней в точках

$K$ и

$M$ соответственно. Пусть

$Q$ и

$P$ — соответственно середины дуг

$AB$ и

$BC$ , не содержащих точку

$N$ . Окружности, описанные около треугольников

$BQK$ и

$BPM$ , пересекаются в точке

$B_1\neq B$ . Докажите, что

$BPB_1Q$ — параллелограмм.
комментарий/решение(3)

Задача №5. Найдите все последовательности целых чисел

$a_1 ,a_2 ,a_3 , \ldots,a_{2008}$ , удовлетворяющих уравнению

$\left( {2008 - a_1 } \right)^2 + \left( {a_1 - a_2 } \right)^2 + \ldots + \left( {a_{2007} - a_{2008} } \right)^2 + a_{2008} ^2 = 2008.$
комментарий/решение(2)

Задача №6. Какое максимальное число прямых на плоскости можно выбрать так, чтобы нашлось 8 точек таких, что на каждой из выбранных прямых было не менее трёх из этих точек?
комментарий/решение(1)