Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс

Найдите все пары $(a;b)$ целых чисел $a$ и $b$, удовлетворяющих равенству $a^4 - 3a^2 + 4a - 3 = 7 \cdot 3^b.$

Комментарий/решение

$\textbf{Решение:}$ Из условии задачи следует, что $b\geq 0$. Разложим левую часть на множители: $a^4-3a^2+4a-3=(a^2+a-3)(a^2-a+1).$ Имеем $(a^2+a-3)(a^2-a+1)=7\cdot 3^b.$ Поскольку $7\cdot 3^b$ можно представить в виде произведения двух целых чисел двенадцатью способами, получим двенадцать систем.

$$\Big(7\cdot 3^b=3^b\cdot 7=(-7)\cdot (-3^b)=(-3^b)\cdot (-7)=(7\cdot 3^{\gamma})\cdot (3^{b-\gamma})=(-7\cdot 3^{\gamma})\cdot (-3^{b-\gamma})= (3^{b-\gamma})\cdot(7\cdot 3^{\gamma})=$$ $$=(-3^{b-\gamma})\cdot(-7\cdot 3^{\gamma})=(7\cdot 3^b)\cdot 1=(-7\cdot 3^b)\cdot (-1)=(-1)\cdot (-7\cdot 3^b)=1\cdot (7\cdot 3^b)\Big).$$

$\textbf{Случай №1.}$ $$\begin{cases} a^2+a-3= \pm1 \\ a^2-a+1= \pm 7\cdot 3^b\end{cases}\Longrightarrow \text{система не имеет решении в целых числах}$$

$\textbf{Случай №2.}$ $$\begin{cases} a^2+a-3= \pm 7\cdot 3^b \\ a^2-a+1= \pm 1\end{cases}\Longrightarrow \text{система не имеет решении в целых числах}$$

$\textbf{Случай №3.}$ $$\begin{cases} a^2+a-3= \pm 7 \\ a^2-a+1= \pm 3^b \end{cases}\Longrightarrow \text{система не имеет решении в целых числах}$$

$\textbf{Случай №4.}$ $$\begin{cases} a^2+a-3= \pm 3^b \\ a^2-a+1= \pm 7 \end{cases}\Longrightarrow (a;b)=(3;2)$$

$\textbf{Случай №5.}$ $$\begin{cases} a^2+a-3= \pm 7\cdot 3^{b-\gamma} \\ a^2-a+1= \pm 3^{\gamma}\end{cases}\Longrightarrow \text{система не имеет решении в целых числах}$$

В этом случае, уравнение $a^2+a-3= \pm 7\cdot 3^{b-\gamma}$ не имеет уравнение в целых числах. Рассмотрим остатки, получающиеся при делении обеих частей уравнения на $7$. Правая часть уравнения делитcя на $7$ без остатка, а левая часть при делении на $7$ дает остатки $2,3,4,6$. Левая и правая части дают при делении на $7$ разные остатки. Таким образом, в рассматриваемом случае данное уравнение не имеет решений.

$\textbf{Случай №6.}$ $$\begin{cases} a^2+a-3= \pm 3^{\gamma} \\ a^2-a+1= \pm 7\cdot 3^{b-\gamma}\end{cases}$$

Так как, $a^2-a+1=0,25(2a-1)^2+0,75>0$, рассмотрим систему

$$\begin{cases} a^2+a-3= 3^{\gamma} \\ a^2-a+1= 7\cdot 3^{b-\gamma}\end{cases}.$$

$$\textbf{Подслучай №1.} \quad \gamma=2k\Rightarrow a^2+a-3=(3^k)^2\Rightarrow (2a+1)^2-(2\cdot 3^k)^2=13\Rightarrow (2a+1-3^k)(2a+1+3^k)=13=$$ $$=1\cdot 13=13\cdot 1=(-1)\cdot (-13)=(-13)\cdot (-1)\Rightarrow \text{уравнение не имеет решении в целых числах}$$

$$\textbf{Подслучай №2.} \quad \gamma=2k+1\Rightarrow a^2+a=3(3^{2k}+1)\Rightarrow a^2+a\equiv 0 \quad (mod \quad 3)\Rightarrow a\equiv 0;2 \quad (mod \quad 3)$$

$$ a\equiv 2 \quad (mod \quad 3) \Rightarrow a=3q+2 \Rightarrow 3q^2+5q+1=(3^k)^2 \Rightarrow (6q+5)^2-12\cdot (3^k)^2=13 \Rightarrow q=1 \Rightarrow (a;b)=(5;4)$$

$$a\equiv 0 \quad (mod \quad 3) \Rightarrow a=3q \Rightarrow (6q+1)^2-12\cdot(3^k)^2=13$$

$$....$$

Ответ :

$(a;b)=(3;2);(5;4)$

Если разбить на множители , то

$(a^2-a+1)(a^2+a-3)=7×3^b$

Перебрав $a \equiv 1;2;3;4;5;6;0 \pmod{7}$

Поймем что $7 \nmid (a^2+a-3)$ тогда

$7 \mid (a^2-a+1)$ значит

$(a^2+a-3)=3^y$

$(a^2-a+1)=7×3^x $

Где $b=x+y \Rightarrow$

$a^2-a+1-7×3^x=0$

$D=1-4(1-7×3^x)=7×4×3^x-3$

Если $ x≥2 \Rightarrow 7×4×3^x-3 \equiv 6 \pmod{9}$ . Но

$n^2 \equiv 0;1;4;7 \pmod{9}$ где $n-$целое число . То есть при

$x≥2 $

$D \ne n^2 \Rightarrow$ $a$ не целое

Значит $x<2$ $\Rightarrow$

$a^2-a+1=7;21 \Rightarrow a=3;5$ поставив значения $a$ поймём что $b=2;4$ соответственно