Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс
Комментарий/решение:
Решение: Из условии задачи следует, что b≥0. Разложим левую часть на множители: a4−3a2+4a−3=(a2+a−3)(a2−a+1). Имеем (a2+a−3)(a2−a+1)=7⋅3b. Поскольку 7⋅3b можно представить в виде произведения двух целых чисел двенадцатью способами, получим двенадцать систем.
(7⋅3b=3b⋅7=(−7)⋅(−3b)=(−3b)⋅(−7)=(7⋅3γ)⋅(3b−γ)=(−7⋅3γ)⋅(−3b−γ)=(3b−γ)⋅(7⋅3γ)= =(−3b−γ)⋅(−7⋅3γ)=(7⋅3b)⋅1=(−7⋅3b)⋅(−1)=(−1)⋅(−7⋅3b)=1⋅(7⋅3b)).
Случай №1. {a2+a−3=±1a2−a+1=±7⋅3b⟹система не имеет решении в целых числах
Случай №2. {a2+a−3=±7⋅3ba2−a+1=±1⟹система не имеет решении в целых числах
Случай №3. {a2+a−3=±7a2−a+1=±3b⟹система не имеет решении в целых числах
Случай №4. {a2+a−3=±3ba2−a+1=±7⟹(a;b)=(3;2)
Случай №5. {a2+a−3=±7⋅3b−γa2−a+1=±3γ⟹система не имеет решении в целых числах
В этом случае, уравнение a2+a−3=±7⋅3b−γ не имеет уравнение в целых числах. Рассмотрим остатки, получающиеся при делении обеих частей уравнения на 7. Правая часть уравнения делитcя на 7 без остатка, а левая часть при делении на 7 дает остатки 2,3,4,6. Левая и правая части дают при делении на 7 разные остатки. Таким образом, в рассматриваемом случае данное уравнение не имеет решений.
Случай №6. {a2+a−3=±3γa2−a+1=±7⋅3b−γ
Так как, a2−a+1=0,25(2a−1)2+0,75>0, рассмотрим систему
{a2+a−3=3γa2−a+1=7⋅3b−γ.
Подслучай №1.γ=2k⇒a2+a−3=(3k)2⇒(2a+1)2−(2⋅3k)2=13⇒(2a+1−3k)(2a+1+3k)=13= =1⋅13=13⋅1=(−1)⋅(−13)=(−13)⋅(−1)⇒уравнение не имеет решении в целых числах
Подслучай №2.γ=2k+1⇒a2+a=3(32k+1)⇒a2+a≡0(mod3)⇒a≡0;2(mod3)
a≡2(mod3)⇒a=3q+2⇒3q2+5q+1=(3k)2⇒(6q+5)2−12⋅(3k)2=13⇒q=1⇒(a;b)=(5;4)
a≡0(mod3)⇒a=3q⇒(6q+1)2−12⋅(3k)2=13
....
Ответ :
(a;b)=(3;2);(5;4)
Если разбить на множители , то
(a2−a+1)(a2+a−3)=7×3b
Перебрав a \equiv 1;2;3;4;5;6;0 \pmod{7}
Поймем что 7 \nmid (a^2+a-3) тогда
7 \mid (a^2-a+1) значит
(a^2+a-3)=3^y
(a^2-a+1)=7×3^x
Где b=x+y \Rightarrow
a^2-a+1-7×3^x=0
D=1-4(1-7×3^x)=7×4×3^x-3
Если x≥2 \Rightarrow 7×4×3^x-3 \equiv 6 \pmod{9} . Но
n^2 \equiv 0;1;4;7 \pmod{9} где n-целое число . То есть при
x≥2
D \ne n^2 \Rightarrow a не целое
Значит x<2 \Rightarrow
a^2-a+1=7;21 \Rightarrow a=3;5 поставив значения a поймём что b=2;4 соответственно
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.