Processing math: 67%

Республиканская олимпиада по математике, 2008 год, 10 класс


Найдите все пары (a;b) целых чисел a и b, удовлетворяющих равенству a43a2+4a3=73b.
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 5   1
4 года 9 месяца назад #

Решение: Из условии задачи следует, что b0. Разложим левую часть на множители: a43a2+4a3=(a2+a3)(a2a+1). Имеем (a2+a3)(a2a+1)=73b. Поскольку 73b можно представить в виде произведения двух целых чисел двенадцатью способами, получим двенадцать систем.

(73b=3b7=(7)(3b)=(3b)(7)=(73γ)(3bγ)=(73γ)(3bγ)=(3bγ)(73γ)= =(3bγ)(73γ)=(73b)1=(73b)(1)=(1)(73b)=1(73b)).

Случай №1. {a2+a3=±1a2a+1=±73bсистема не имеет решении в целых числах

Случай №2. {a2+a3=±73ba2a+1=±1система не имеет решении в целых числах

Случай №3. {a2+a3=±7a2a+1=±3bсистема не имеет решении в целых числах

Случай №4. {a2+a3=±3ba2a+1=±7(a;b)=(3;2)

Случай №5. {a2+a3=±73bγa2a+1=±3γсистема не имеет решении в целых числах

В этом случае, уравнение a2+a3=±73bγ не имеет уравнение в целых числах. Рассмотрим остатки, получающиеся при делении обеих частей уравнения на 7. Правая часть уравнения делитcя на 7 без остатка, а левая часть при делении на 7 дает остатки 2,3,4,6. Левая и правая части дают при делении на 7 разные остатки. Таким образом, в рассматриваемом случае данное уравнение не имеет решений.

Случай №6. {a2+a3=±3γa2a+1=±73bγ

Так как, a2a+1=0,25(2a1)2+0,75>0, рассмотрим систему

{a2+a3=3γa2a+1=73bγ.

Подслучай №1.γ=2ka2+a3=(3k)2(2a+1)2(23k)2=13(2a+13k)(2a+1+3k)=13= =113=131=(1)(13)=(13)(1)уравнение не имеет решении в целых числах

Подслучай №2.γ=2k+1a2+a=3(32k+1)a2+a0(mod3)a0;2(mod3)

a2(mod3)a=3q+23q2+5q+1=(3k)2(6q+5)212(3k)2=13q=1(a;b)=(5;4)

a0(mod3)a=3q(6q+1)212(3k)2=13

....

пред. Правка 2   0
1 года 10 месяца назад #

Ответ :

(a;b)=(3;2);(5;4)

Если разбить на множители , то

(a2a+1)(a2+a3)=7×3b

Перебрав a \equiv 1;2;3;4;5;6;0 \pmod{7}

Поймем что 7 \nmid (a^2+a-3) тогда

7 \mid (a^2-a+1) значит

(a^2+a-3)=3^y

(a^2-a+1)=7×3^x

Где b=x+y \Rightarrow

a^2-a+1-7×3^x=0

D=1-4(1-7×3^x)=7×4×3^x-3

Если x≥2 \Rightarrow 7×4×3^x-3 \equiv 6 \pmod{9} . Но

n^2 \equiv 0;1;4;7 \pmod{9} где n-целое число . То есть при

x≥2

D \ne n^2 \Rightarrow a не целое

Значит x<2 \Rightarrow

a^2-a+1=7;21 \Rightarrow a=3;5 поставив значения a поймём что b=2;4 соответственно