Математикадан республикалық олимпиада, 2007-2008 оқу жылы, 10 сынып

Есеп №1. Теңдеудің шешімі болатын

$a$ және

$b$ бүтін сандарының барлық

$(a;b)$ жұптарын табыңдар:

${{a}^{4}}-3{{a}^{2}}+4a-3=7\cdot {{3}^{b}}$ .
комментарий/решение(2)

Есеп №2.

$ABC$ үшбұрышында

$A$ бұрышының биссектрисасы

$BC$ қабырғасын

${{A}_{1}}$ нүктесінде, ал сырттай сызылған шеңберді

${{A}_{0}}$ нүктесінде қияды.

${{C}_{1}}$ және

${{C}_{0}}$ нүктелері де осыған ұқсас анықталған.

${{A}_{0}}{{C}_{0}}$ және

${{A}_{1}}{{C}_{1}}$ түзулері

$P$ нүктесінде қиылысады. Онда

$PI$ түзуінің

$AC$ қабырғасына параллель екенін дәлелдеңдер, мұндағы

$I$ нүктесі —

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі.
комментарий/решение(1)

Есеп №3. Теріс емес

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары үшін

$a^{12} + (ab)^6 + (abc)^4 +(abcd)^3 \leq 1,\!43(a^{12} + b^{12} + c^{12} + d^{12})$ теңсіздігін дәлелдеңдер. ( Н. Седракян )
комментарий/решение(6)

Есеп №4. Екі шеңбер

$N$ нүктесінде іштей жанасады. Сыртқы шеңбердің

$BA$ және

$BC$ хордалары ішкі шеңберді сәйкесінше

$K$ және

$M$ нүктелерінде жанайды.

$N$ нүктесі жатпайтын

$AB$ және

$BC$ доғаларының орталарын сәйкесінше

$Q$ және

$P$ деп белгілейік.

$BQK$ және

$BPM$ , үшбұрыштарына сырттай сызылған шеңберлер

$B_1 \ne B$ нүктесінде қиылысады.

$BPB_1Q$ төртбұрышының параллелограмм екенін дәлелдеңдер.
комментарий/решение(3)

Есеп №5. Теңдеуді қанағаттандыратын барлық

${{a}_{1}},{{a}_{2}},{{a}_{3}},\ldots,{{a}_{2008}}$ бүтін сандар тізбегін анықтаңдар:

${{\left( 2008-{{a}_{1}} \right)}^{2}}+{{\left( {{a}_{1}}-{{a}_{2}} \right)}^{2}}+\ldots+{{\left( {{a}_{2007}}-{{a}_{2008}} \right)}^{2}}+{{a}_{2008}}^{2}=2008.$
комментарий/решение(2)

Есеп №6. Жазықтықтан ең көп дегенде мына шартты қанағаттандыратын қанша түзу таңдап алуға болады: әрбір таңдалған түзуде ең кем дегенде үш нүктесі жататын 8 нүктеден тұратын жиын табылады?
комментарий/решение(1)