Р. Женодаров


Есеп №1.  Жұлдызшалардың орнына $\mbox{ЕКОЕ}(*,*,*) - \mbox{ЕКОЕ}(*,*,*)=2009$ теңдігі дұрыс болатындай қандай да бір ретте қатар келген алты натурал сан қоюға бола ма? ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. Незнайка шеңбер бойына 11 натурал санды жазып қойды. Әрбір екі көрші сандар үшін ол олардың айырымын есептеп қойды (үлкеннен кішісін алып тастады). Ең соңында табылған сандардың ішінен төрт тал бір саны, төрт тал екі саны және үш тал үш саны табылды. Незнайка бір жерде қателік жібергенің дәлелдеңіз. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №3. $ABCD$ төртбұрышында $AB$ қабырғасы $AC$ диогональна тең және $AD$ қабырғасына перпендикуляр, ал $AC$ диогональі $CD$ қабырғасына перпендикуляр. $AC=AK$ болатыңдай $AD$ қабырғасынан $K$ нүктесі алынған. $ADC$ бұрышының биссектрисасы $BK$-ны $M$ нүктесінде қиып өтеді. $ACM$ бұрышын табыңыз. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №4.  $AD=AB+CD$ болатындай $ABCD$ дөңес төртбұрышы берілген. $A$ бұрышының биссектрисасы $BC$ қабырғасының ортасынан өтетіні белгілі. $D$ бұрышының биссектрисасы да $BC$ қабырғасының ортасынан өтетінін дәлелдеңіз. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. Олег пен Сергей солдан оңға қарай кезектесіп бір цифрдан тоғыз таңбалы сан болғанша жазады. Сонымен қатар, жазылып қойған цифрды қайтадан жазуға болмайды. Ойынды Олег бастайды (және аяқтайды). Егер соңғы жүрістен кейін пайда болған сан 4-ке бөлінсе Олег жеңеді, кері жағдайда Сергей жеңеді. Дұрыс ойында кім ұтады? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №6.  $M$ — $AB$ кесіндісінде белгіленген нүкте болсын. $P$ мен $Q$ нүктелері — сәйкесінше $AM$ мен $BM$ кесінділерінің ортасы, $O$ нүктесі — $PQ$ кесіндісінің ортасы болсын. $ACB$ бұрышы тік болатындай $C$ нүктесін белгілейік. $MD$ мен $ME$ — $M$ нүктесінен $CA$ мен $CB$ түзулеріне түсірілген перпендикулярлар, ал $F$ — $DE$ кесіндісінің ортасы болсын. $OF$ кесіндісінің ұзындығы белгіленген $C$ нүктесіне тәуелді емес екенін дәлелдеңдер. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №7. Сүйір бұрышты $ABC$ үшбұрышы берілген. $AA_1$ биіктігі $A$ төбесінен ары қарай $AA_2=BC$ кесіндісіне толықтырылған. $CC_1$ биіктігі $C$ төбесінен ары қарай $CC_2=AB$ кесіндісіне толықтырылған. $A_2BC_2$ үшбұрышының бұрыштарын табыңыз. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8.  Шеңбер бойында 200 адам тұр. Олардың әрбірі немесе өтірікші, немесе конформист. Өтірікші әрқашан да өтірік айтады. Егер бір конформисттің жанында екі конформист тұрса, ол конформист әрқашан да шындықты айтады. Егер бір конформисттің жанында кемінде бір өтірікші тұрса, онда ол конформист шындықты да, өтірікті де айта алады. Тұрғандардың ішінде 100 адам:
«Мен өтірікшімін»,
қалған 100-і: «Мен конформистпін» -- деді.
Осы 200 адамның ішінде конформисттердің ең көп мүмкін санын табыңдар. ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №9. Өлшемі $20\times20$ болатын тақтадан кез келген 18 шаршыны қиып алып тастап, қалған шаршыларға бірін-бірі ұрмайтын ладьялар қоюға болады. Осындай шарттармен тақтаға ең көп дегенде қанша ладья қойып шыға аламыз? Егер ладьялар бір жолда немесе бір бағанда тұрса, және олардың арасында кесіп алынған шаршы болмаса, онда олар бірін-бірі ұрады деп санаймыз. ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(3) олимпиада
Есеп №10. Көрермендер фильмді 0-ден 10-ға дейінгі бүтін ұпаймен бағалайды. Уақыттың әр мезетінде фильмнің рейтингі оған дейін қойылған ұпайлардың қосындысын сол ұпайлар санына бөлу арқылы есептелінеді. Қандай да бір $T$ уақытта рейтинг бүтін сан болған, сосын жаңадан дауыс берген көрерменнен кейін ол рейтинг 1 ұпайға азайып отырған. $T$ уақыттан кейін ең көп дегенде қанша көрермен дауыс беруі мүмкін? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №11. Петя қатар келген 10 натурал сандарды таңдап алып, оның әрқайсысын көк немесе қызыл қарындашпен жазып шыққан (екі түстің әрқайсысы кездеседі). Барлық қызыл сандардың ең кіші ортақ еселігі мен барлық көк сандардың ең кіші ортақ еселік қосындысы 2016 санына аяқтала алады ма? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №12. Қатарға 100 тиын тізіп шыққан. Сырт жағынан барлық тиындар бірдей, бірақ бір жерде қатарынан 50 жалған тиын жатыр (және жалған тиындар тек солар). Барлық шын тиындардың салмақтары бірдей, ал жалған тиындардікі әр түрлі, бірақ шын тиыннан жеңіл. Табақты таразды қолданып тек бір өлшеу жасау арқылы кемінде 34 шын тиынды табуға болады ма? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №13. $7\times 7$ тақтаның әр клеткасы тоғыз түстің біреуіне боялған. Тақтаның жиегінде орналаспаған әр клетка үшін, сол клеткаға көрші болатын (қатар, баған немесе диагональ бойынша) клеткалардың түстерінің арасында, түсі сол клеткадан өзгеше болатын, қалған сегіз түстің барлығы бар екені белгілі. Әр түс үшін, сол түсті клеткалар саны кемінде төрт клетка дәлелдеңіз. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №14.  Имеется кубик, каждая грань которого разбита на 4 одинаковые квадратные клетки. Олег хочет отметить невидимыми чернилами 8 клеток так, чтобы никакие две отмеченные клетки не имели общей стороны. У Рустема есть детекторы. Если детектор помещен в клетку, чернила на ней делаются видимыми. Какое наименьшее число детекторов Рустем может поместить в клетки так, чтобы, какие бы клетки после этого Олег ни отметил, можно было определить все отмеченные клетки? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №15. Тақтаға $n$ бүтін сандар жазылған. Олардың кез-келген екеуің айырмашылығы кемінде 3-ке тең. Осы сандардың ең үлкен екеуінің квадраттарының қосындысы 500-ден кіші. Осы сандардың ең кіші екеуінің квадраттарының қосындысы да 500-ден кіші. $n$-нің қандай ең үлкен мәнінде осы шарттар орындала алады? ( Р. Женодаров, С. Берлов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №16. Тұйықталған сынық сызық 1001 буыннан тұрады және оның ешқандай үш төбесі бір түзудің бойында жатпайды. Егер бір буын өзіне көрші емес қалған 998 буынның әрқайсысымен қиылысса, сол буынды әдемі деп атайық. 1001 буынның 999-ы әдемі екені белгілі. «Қалған екі буынның әрқайсысы да әдемі» деген тұжырым дұрыс па? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №17. Жасыл хамелеон әрқашан шындықты айтады, ал қоңыр хамелеон өтірік айтады да, содан кейін жасыл түске айналады. 2019 хамелеондардың әрқайсысы «Араларыңда дәл қазір қанша хамелеон жасыл?» деген сұраққа кезекпен жауап берді. Сонда жауаптар 1, 2, 3, $\ldots,$ 2019 сандары болған (қандай-да бір ретте, міндетті түрде жоғарыда айтылғандай емес). Бастапқыда ең көп дегенде қанша жасыл хамелеон болуы мүмкін? ( Р. Женодаров, О. Дмитриев )
комментарий/решение(1) олимпиада