Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, II тур регионального этапа
Задача №1. Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку.
(
Р. Женодаров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №2. В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. При каком наибольшем n можно раскрасить числа 1,2,…,14 в красный и синий цвета так, чтобы для любого числа k=1,2,…,n нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна k, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна k?
(
Д. Храмцов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №4. Биссектрисы углов A и C трапеции ABCD пересекаются в точке P, а биссектрисы углов B и D — в точке Q, отличной от P. Докажите, что если отрезок PQ параллелен основанию AD, то трапеция равнобокая.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)