Олимпиада имени Леонарда Эйлера
2009-2010 учебный год, II тур регионального этапа

Задача №1.  Незнайка выписал по кругу 11 натуральных чисел. Для каждых двух соседних чисел он посчитал их разность (из большего вычел меньшее). В результате среди найденных разностей оказалось четыре единицы, четыре двойки и три тройки. Докажите, что Незнайка где-то допустил ошибку. ( Р. Женодаров )
комментарий/решение(1)

---

Задача №2.  В компании из шести человек любые пять могут сесть за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. Докажите, что и всю компанию можно усадить за круглый стол так, что каждые два соседа окажутся знакомыми. ( С. Волчёнков )
комментарий/решение(1)

---

Задача №3.  При каком наибольшем $n$ можно раскрасить числа $1, 2, \dots , 14$ в красный и синий цвета так, чтобы для любого числа $k = 1, 2, \dots , n $ нашлись пара синих чисел, разность между которыми равна $k$, и пара красных чисел, разность между которыми тоже равна $k$? ( Д. Храмцов )
комментарий/решение(1)

---

Задача №4.  Биссектрисы углов $A$ и $C$ трапеции $ABCD$ пересекаются в точке $P$, а биссектрисы углов $B$ и $D$ — в точке $Q$, отличной от $P$. Докажите, что если отрезок $PQ$ параллелен основанию $AD$, то трапеция равнобокая. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1)

---