қазақша
русскийЭйлер атындағы олимпиада, 2009-2010 оқу жылы, аймақтық кезеңнің 2 туры
Есеп №1. Незнайка шеңбер бойына 11 натурал санды жазып қойды. Әрбір екі көрші сандар үшін ол олардың айырымын есептеп қойды (үлкеннен кішісін алып тастады). Ең соңында табылған сандардың ішінен төрт тал бір саны, төрт тал екі саны және үш тал үш саны табылды. Незнайка бір жерде қателік жібергенің дәлелдеңіз.
(
Р. Женодаров
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №2. Алты адамнан тұратын компанияда кез-келген бес адам дөңгелек стөл үстінде әрбір екі көрші таныс болатыңдай отыра алады. Әрбір екі көрші таңыс болатыңдай бүкіл компанияны дөңгелек стөл үстіне отырғызуға болатының дәлелдеңіз.
(
С. Волчёнков
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №3. $n$ санының қандай ең үлкен мәңінде $1$, $2$, $\ldots$, $14$ сандарын кез-келген $k=1, 2, \ldots$, $n$ саны үшін айырымы $k$ болатыңдай көк сандар жұбы табылатыңдай және айырымы $k$ болатыңдай қызыл сандар жұбы табылатыңдай, қызыл және көк түстерге бояуға болады?
(
Д. Храмцов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Есеп №4. $ABCD$ трапециясының $A$ және $C$ бұрыштарының биссектрисалары $P$ нүктесінде қиылысады, ал $B$ және $D$ бұрыштарының биссектрисалары $P$ нүктесінен өзгеше, $Q$ нүктесінде қиылысады. Егер $PQ$ кесіндісі $AD$ табанына параллель болса, онда трапеция теңбүйрлі екенін дәлелдеңіз.
(
Л. Емельянов
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)