қазақша
русскийК. Кохась
Есеп №1. $x,y,z > \dfrac{3}{2}$ үшін келесі теңсіздік орындалатынын дәлелдеңіз: ${{x}^{24}}+\sqrt[5]{{{y}^{60}}+{{z}^{40}}}\ge {{\left( {{x}^{4}}{{y}^{3}}+\dfrac{1}{3}{{y}^{2}}{{z}^{2}}+\dfrac{1}{9}{{x}^{3}}{{z}^{3}} \right)}^{2}}$. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №2. 1-ден 501-ге дейінгі натурал сандардың ішінен 250 сан таңдалды. ${{a}_{1}}+{{a}_{2}}+{{a}_{3}}+{{a}_{4}}-t$ саны 23-ке бөлінетіндей, кез келген бүтін $t$ үшін, таңдалған сандар ішінен ${{a}_{1}}$, ${{a}_{2}}$, ${{a}_{3}}$ және ${{a}_{4}}$ сандары табылатынын дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №3. $10\times 10$ кестесінің барлық торшаларында оң сандар жазылды. Кейбір 5 торшада отырған бақалар, сандарды жасырып отыр. Костя көрініп тұрған сандарды қосып, 10 санын алды. Кейін әрбір бақа көршілес жатқан торшаға секіргенде, Костя ${{10}^{2}}$ санын алды. Кейін тағы да бақалар көршілес жатқан торшаға секіргенде, Костя ${{10}^{3}}$ санын алды және дәл осылай жалғаса бере, әрбір келесі сан, алдындағы саннан 10 есе үлкен болды. Костя қандай ең үлкен сан ала алады? ( К. Кохась )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. $6\times 6$ кестесінің торларында, үлкен оң коэффициенттері бар квадрат үшмүшелер орналасқан. Барлық 108 коэфиициенттер 60-тан 47-ге дейінгі бүтін сандар (бір реттен). Кем-дегенде бір бағандағы барлық квадрат үшмүшелердің қосындысында түбір бар екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №5. Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №6. Мөлдір емес баобаб қасында, 4 данышпан шеңбер бойымен тұр. Әр данышпанның басында қызыл немесе көк немесе жасыл түсті қалпақ бар. Данышпан, тек екі көршісін көре алады. Данышпандар, барлығы бірге өздерінің қалпақтарының түстері жайлы болжам айтулары тиіс. Егер данышпандардың біреуі дәл тапса, данышпандар жеңіске жітеді. Данышпандарда ойын басталғанша мәселені талқылауға мүмкіндік болды. Жеңу үшін олар не істеу керек? ( К. Кохась )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №7. Үстел үстінде 100 тас үйіндісі жатыр. Екі ойынша кезектесіп жүріс жасайды. Бір жүрісте, 99 үйіндіден артық емес үйінділерден кез-келген мөлшерде (нөлдік емес) тас алуға болады. Жүрісі қалмаған ойыншы жеңіледі. Әділ ойында, кез-келген алғашқы жаңдайда, бастаған ойыншы немесе оның қарсыласы жеңетінін анықтаңыз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №8. $a > 14$ болатындай, $0\le b\le c\le d\le a$ сандары берілсін. Ешқандай $x$, $y$, $z$ бүтін сандары үшін $n=x(ax+b)+y(ay+c)+z(az+d)$ теңдеуі орындалмайтындай $n$ санының бар екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №9. Қабырғалары қатарынан 3, 6, 5, 8 болатын дөңес төртбұрышытың ішінде шеңбер салынды. Осы шеңбердің радиуысы 3-тен кіші екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №10. Лена өзенінің сол жақ жағалауында $m$ ауыл бар, ал оң жақ жағалауында $n$ ауыл бар және тағы бір ауыл аралда орналасқан. $(m+1,n+1) > 1$ екені белгілі. Натурал саны бар паром, өзен арқылы бөлінген, әрбір екі ауыл арасында қатынайды. Ауыл тұрғындары, өздерінің ауылдарына қатынайтын әрбір паромның нөмірі әртүрлі және осы нөмірлер натурал сандар тізбегін құрайтынын айтты. Кем-дегенде бір ауыл тұрғындары, қателесетінін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №11. Екі нақты түбірі бар, $P\left( x \right)$ квадрат үшмүшесі, барлық $x$ үшін $P\left( {{x}^{3}}+x \right)\ge P\left( {{x}^{2}}+1 \right)$ теңсіздігін қанағаттандырады. $P\left( x \right)$ үшмүшесінің түбірлерінің қосындысын табыңыз. ( А. Голованов, К. Кохась, М. Иванов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №12. Докажите, что при $x$, $y$, $z\geq 1$ выполнено неравенство $(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$ ( К. Кохась )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №13. Докажите, что при $x$, $y$, $z\geq 1$ выполнено неравенство $(x^3+2y^2+3z)(4y^3+5z^2+6x)(7z^3+8x^2+9y) \geq 720(xy+yz+xz).$ ( К. Кохась )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №14. $1\times 5n$ өлшемді тіктөртбұрышты келесі плиткаларға бөледі: әр плитка не бір ұяшық, не «үзік домино», ол екі ұяшықтан тұрады, олардың арасында төрт бос ұяшық бар. Мұндай бөлулер саны санның дәл бесінші дәрежесіне тең сан екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №15. Ұяшықтары бар тор түйіндеріне $1,2,3 \ldots$ сандары спираль бойымен жазылады (суретті қараңыз). Кейін әр ұяшықтың ортасына оның төбелеріндегі сандардың қосындысы жазылады. Кез келген натурал $n$ үшін ұяшықтардың ортасында шексіз көп рет $n$-ге бөлінетін сандар пайда болатынын дәлелдеңіз.
комментарий/решение олимпиада
Есеп №16. Шеңбер бойында $3n$ адам тұр — $n$ отбасы, әрқайсысы «ана-әке-бала». Қатар тұрған екі адам орын ауыстыра алады, бірақ бала ата-анасының біреуімен орын ауыстыра алмайды (ол рұқсат етілмейді). Қандай $n$ үшін мұндай орын ауыстырулар арқылы адамдарды шеңбер бойында кез келген ретпен орналастыруға болады? (Циклдік ығысуымен ерекшеленетін реттіліктер әртүрлі деп есептеледі.) ( К. Кохась )
комментарий/решение олимпиада