Олимпиада Туймаада по математике. Младшая лига. 2012 год

Внутри выпуклого четырехугольника с последовательными сторонами 3, 6, 5, 8 расположен круг. Докажите, что его радиус меньше 3. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Посчитаем площадь четырёхугольника двумя способами. С одной стороны, если $r \geq 3$, то $S \geq 3 \cdot \frac{3+6+5+8}{2} = 33$ так как расстояния от центра круга до сторон не меньше радиуса. Также так как площадь не больше полупроизведения сторон, то $S \leq \frac{3*8+5*6}{2}=27$, что приводит к противоречию. Значит радиус меньше $3$.