Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Кіші лига. 2012 жыл

Қабырғалары қатарынан 3, 6, 5, 8 болатын дөңес төртбұрышытың ішінде шеңбер салынды. Осы шеңбердің радиуысы 3-тен кіші екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась )

Комментарий/решение

Посчитаем площадь четырёхугольника двумя способами. С одной стороны, если $r \geq 3$, то $S \geq 3 \cdot \frac{3+6+5+8}{2} = 33$ так как расстояния от центра круга до сторон не меньше радиуса. Также так как площадь не больше полупроизведения сторон, то $S \leq \frac{3*8+5*6}{2}=27$, что приводит к противоречию. Значит радиус меньше $3$.