Ф. Петров

Задача №1. В окружность с центром

$O$ и радиусом 1 вписан остроугольный треугольник

$ABC$ , все углы которого больше

$45^\circ$ . Из точки

$B$ опущен перпендикуляр

$BB_1$ на прямую

$CO$ , а из точки

$B_1$ опущен перпендикуляр

$B_1B_2$ на прямую

$AC$ . Точно так же из точки

$C$ опущен перпендикуляр

$CC_1$ на прямую

$BO$ , а из точки

$C_1$ опущен перпендикуляр

$C_1C_2$ на прямую

$AB$ . Прямые

$B_1B_2$ и

$C_1C_2$ пересекаются в точке

$A_3$ . Аналогично определяются точки

$B_3$ и

$C_3$ . Найдите радиус описанной окружности треугольника

$A_3B_3C_3$ . ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада

Задача №2. Даны семь различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность восьмых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. Найдите наибольшее число

$h$ , удовлетворяющее следующему условию: для любого числа

$a\in [0,h]$ и любого многочлена

$P(x)$ степени 99, такого, что

$P(0)=P(1)=0$ , найдутся такие

$x_1,x_2\in [0,1]$ , что

$P(x_1)=P(x_2)$ и

$x_2-x_1=a$ . ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №4. Даны 10 различных нечетных простых чисел. Может ли так случиться, что разность шестнадцатых степеней любых двух из них делится на любое из оставшихся чисел? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Шесть членов команды Фаталии на Международной математической олимпиаде отбираются из 13 кандидатов. На отборочной олимпиаде кандидаты набрали

$a_1$ ,

$a_2$ ,

$\dots$ ,

$a_{13}$ баллов (

$a_i\ne a_j$ при

$i\ne j$ ). Руководитель команды заранее выбрал 6 кандидатов и теперь хочет, чтобы в команду попали именно они. С этой целью он подбирает многочлен

$P(x)$ и вычисляет творческий потенциал каждого кандидата по формуле

$c_i=P(a_i)$ . При каком минимальном

$n$ он заведомо сможет подобрать такой многочлен

$P(x)$ степени не выше

$n$ , что творческий потенциал любого из его шести кандидатов окажется строго больше, чем у каждого из семи оставшихся? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №6. Докажите, что существует такое положительное число

$c$ , что при любом натуральном

$N$ среди любых

$N$ натуральных чисел, не превосходящих

$2N$ , найдутся два числа, наибольший общий делитель которых больше

$cN$ . ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №7. В клетках таблицы

$6\times 6$ стоят квадратные трехчлены с положительными старшими коэффициентами. Все их 108 коэффициентов — целые числа от

$-60$ до

$47$ (по одному разу). Докажите, что хотя бы в одном столбце сумма квадратных трехчленов имеет корень. ( К. Кохась, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №8. Множество

$X$ , состоящее из натуральных чисел, называется {\it симпатичным}, если для любых

$a$ ,

$b\in X$ ровно одно из чисел

$a+b$ и

$|a-b|$ принадлежит

$X$ (числа

$a$ и

$b$ могут совпадать). Найдите количество симпатичных множеств, содержащих число 2008. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №9. В стране учатся

$4^{9}$ школьников, живущих в четырех городах. В конце учебного года правительство провело ЕГЭ по 9 предметам, за каждый из которых каждый ученик получил 1 балл, 2 балла, 3 балла или 4 балла. Известно, что у любых двух учеников отметки хотя бы по одному предмету отличаются. При этом оказалось, что у любых двух учеников, живущих в одном городе, совпадают отметки хотя бы по одному предмету. Докажите, что найдется такой предмет, что у любых двух детей, живущих в одном городе, совпадают отметки именно по этому предмету. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №10. Множество

$X$ , состоящее из натуральных чисел, называется симпатичным, если для любых

$a$ ,

$b\in X$ ровно одно из чисел

$a+b$ и

$|a-b|$ принадлежит

$X$ (числа

$a$ и

Задача №11. На прямоугольной клетчатой доске отмечено

$N$ клеток. Пусть

$a_i$ — количество отмеченных клеток в

$i$ -й строке,

$b_j$ — количество отмеченных клеток в

$j$ -м столбце. Докажите, что

$\prod_i a_i! \prod_j b_j !\leqslant N!$ ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада

Задача №12. Клетчатый прямоугольник

$100\times 101$ (100 строк, 101 столбец) разбит на полоски

$1\times 5$ так, что в каждом столбце содержится ровно

$k$ вертикальных полосок. Чему может быть равно

$k$ ? ( Ф. Петров )
комментарий/решение(2) олимпиада