Ф. Петров


Есеп №1. Центрі $O$ нүктесі және радиусы 1 болатын шеңберге, барлық бұрыштары $45{}^\circ $-градустан үлкен сүйірбұрышты үшбұрыш іштей сызылды. $B$ нүктесінен $CO$ түзуіне $B{{B}_{1}}$ перпендикуляры, ал ${{B}_{1}}$ нүктесінен $AC$ түзуіне ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. Дәл осылай, $C$ нүктесінен $BO$ түзуіне $C{{C}_{1}}$ перпендикуляры, ал ${{C}_{1}}$ нүктесінен $AB$ түзуіне ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ перпендикуляры жүргізілді. ${{B}_{1}}{{B}_{2}}$ және ${{C}_{1}}{{C}_{2}}$ түзулері ${{A}_{3}}$ нүктесінде қиылысады. Дәл осылай ${{B}_{3}}$ және ${{C}_{3}}$ нүктелері анықталады. ${{A}_{3}}{{B}_{3}}{{C}_{3}}$ үшбұрышына сырттай сызылған шеңбердің радиусын табыңыз. ( Ф. Петров, Ф. Бахарев )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №2. Жеті тақ, әртүрлі жай сандар берілсін. Кез-келген екі санның сегізінші дәрежелерінінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(2) олимпиада
Есеп №3. Келесі шарттарды қанағаттандыратын, ең үлкен $h$ санын табыңыз: кез-келген $a\in \left[ 0,h \right]$ саны үшін, $P\left( 0 \right)=P\left( 1 \right)=0$ болатындай, 99 дәрежелі кез-келген $P\left( x \right)$ көпмүшесі үшін $P\left( {{x}_{1}} \right)=P\left( {{x}_{2}} \right)$ және ${{x}_{2}}-{{x}_{1}}=a$ болатындай, ${{x}_{1}},{{x}_{2}}\in \left[ 0,1 \right]$ табылады. ( А. Храбров, Д. Ростовский, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №4. Әртүрлі 10 тақ, жай сандар берілсін. Кез-келген екеуінің он алтыншы дәрежелерінің айырмасы қалған сандардың кез-келгеніне бөлінуі мүмкін бе? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение(1) олимпиада
Есеп №5. Халықаралық математикалық олимпиадаға Фатлияның командасының алты мүшесі $13$ үміткерден таңдалынып алынады. Іріктеу олимпиадасында үміткерлер ${{a}_{1}},{{a}_{2}},\ldots,{{a}_{13}}$ ұпай жинаған $\left( {{a}_{i}}\ne {{a}_{j}},i\ne j \right)$. Команда жетекшісі $6$ үміткерді алдын ала таңдап алып, енді командаға осы $6$ адам енгенін қалады. Осы мақсатпен ол $P(x)$ көпмүшелігін таңдап алып, әрбір үміткердің творчестволық деңгейін ${{c}_{i}}=P\left( {{a}_{i}} \right)$ формуласымен есептегісі келеді. Сонда $6$ үміткердің кез келгенінің творчестволық деңгейі қалған жетеуінің әрқайсысынан артық болатындай, $n$ дәрежесі артық емес қандай ең кіші $n$ үшін $P(x)$ көпмүшелігін алдын, іріктеп таңдап ала алады? ( Ф. Петров, К. Сухов )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №6. Кез-келген натурал $N$ үшін, $2N$-нен артық емес кез-келген $N$ натурал сандардың ішінен, ең үлкен ортақ бөлгіші $cN$-нен артық екі сан табылатындай оң $c$ саны табылатынын дәлелдеңіз. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №7. $6\times 6$ кестесінің торларында, үлкен оң коэффициенттері бар квадрат үшмүшелер орналасқан. Барлық 108 коэфиициенттер 60-тан 47-ге дейінгі бүтін сандар (бір реттен). Кем-дегенде бір бағандағы барлық квадрат үшмүшелердің қосындысында түбір бар екенін дәлелдеңіз. ( К. Кохась, Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №8. Егер кез келген $a,b\in X$ үшін, $a+b$ және $\left| a-b \right|$ сандарының біреуі $X$ жиынына тиісті болса, натурал сандардан тұратын $X$ жиыны сүйкімді деп аталады ($a$ және $b$ сандары сәйкес келуі мүмкін). 2008 санын қамтитын, сүйкімді жиындар санын табыңыз. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №9. Мемлекетте, төрт қалада тұратын ${{4}^{9}}$ оқушы бар. Оқу жылының соңында үкімет 9 пән бойынша, ұлттық бірыңғай экзаменін ұйымдастырды, әрбір пән бойынша әрбір оқушы 1 балл, 3 балл және 4 балл алатындай. Кез келген екі оқушыда кем дегенде бір пән бойынша баға өзгеше екені белгілі. Сонымен қатар, бір қалада тұратын екі оқушыда, кем дегенде бір пән бойынша баға өзгеше екені анықталды. Бір қалада тұратын кез келген екі оқушының бір пән бойынша бағалары бірдей болатындай пән бар екенін дәлелдеңіз. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №10. Егер кез келген $a,b\in X$ үшін, $a+b$ және $\left| a-b \right|$ сандарының біреуі $X$ жиынына тиісті болса, натурал сандардан тұратын $X$ жиыны сүйкімді деп аталады ($a$ және $b$ сандары сәйкес келуі мүмкін). 2008 санын қамтитын, сүйкімді жиындар санын табыңыз. ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №11.  На прямоугольной клетчатой доске отмечено $N$ клеток. Пусть $a_i$ — количество отмеченных клеток в $i$-й строке, $b_j$ — количество отмеченных клеток в $j$-м столбце. Докажите, что $$\prod_i a_i! \prod_j b_j !\leqslant N!$$ ( Ф. Петров )
комментарий/решение олимпиада
Есеп №12.  Өлшемі $100\times 101$ болатын торлы тіктөртбұрыш (100 жол, 101 баған) өлшемі $1\times 5$ болатын жолақтарға бөлінген. Әр бағанда тігінен орналасқан жолақтар саны $k$-ға тең. $k$ саны қандай мән қабылдай алады? ( Ф. Петров )
комментарий/решение(2) олимпиада