Л. Емельянов

Задача №1. Биссектрисы углов

$A$ и

$C$ трапеции

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ , а биссектрисы углов

$B$ и

$D$ — в точке

$Q$ , отличной от

$P$ . Докажите, что если отрезок

$PQ$ параллелен основанию

$AD$ , то трапеция равнобокая. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №2. Про три положительных числа известно, что если выбрать одно из них и прибавить к нему сумму квадратов двух других, то получится одна и та же сумма, независимо от выбранного числа. Докажите, что какие-то два из исходных чисел совпадают. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №3. На стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ взята точка

$D$ таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку

$AD$ проходит через центр вписанной в треугольник

$ABC$ окружности. Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника

$ABC$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. У Синдбада в кошельке 11 внешне одинаковых динаров, среди которых, возможно, один фальшивый, отличающийся от настоящего по весу, но неизвестно в какую сторону. Как ему расплатиться с торговцем восемью настоящими динарами, если торговец разрешил два раза воспользоваться его чашечными весами, но без гирь? ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №5. Числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ таковы, что

$0 < a \leq b \leq d \leq c$ и

$a+c=b+d$ . Докажите, что для любой внутренней точки

$P$ отрезка длины

$a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ , вписанная окружность которого проходит через точку

$P$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №6. На высоте

$AA_1$ остроугольного треугольника

$ABC$ отмечена точка

$D$ такая, что

$\angle BDC=90^\circ$ , и точка

$H$ — ортоцентр треугольника

$ABC$ . На отрезке

$AH$ как на диаметре построена окружность. Докажите, что длина касательной, проведенной к этой окружности из точки

$B$ , равна длине отрезка

$BD$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №7. Числа

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ таковы, что

$0 < a \leq b \leq d \leq c$ и

$a+c=b+d$ . Докажите, что для любой внутренней точки

$P$ отрезка длины

$a$ этот отрезок является стороной описанного четырёхугольника с последовательными сторонами

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ , вписанная окружность которого проходит через точку

$P$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №8. Радиус окружности

$\omega_A$ с центром в вершине

$A$ треугольника

$ABC$ равен радиусу вневписанной окружности, касающейся стороны

$BC$ . Аналогично строятся окружности

$\omega_B$ и

$\omega_C$ . Докажите, что если какие-то две из этих окружностей касаются, то касаются любые две из них. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №9. Точка

$A_1$ на периметре выпуклого четырёхугольника

$ABCD$ такова, что прямая

$AA_1$ делит площадь четырёхугольника пополам. Аналогично определяются точки

$B_1$ ,

$C_1$ и

$D_1$ . Докажите, что площадь выпуклого четырёхугольника с вершинами

$A_1$ ,

$B_1$ ,

$C_1$ ,

$D_1$ больше четверти площади

$ABCD$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №10. Точка

$I_1$ симметрична центру

$I$ вписанной окружности треугольника

$ABC$ относительно стороны

$BC$ . Описанная окружность треугольника

$BCI_1$ вторично пересекает прямую

$II_1$ в точке

$P$ . Известно, что

$P$ лежит вне вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Из точки

$P$ проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках

$X$ и

$Y$ . Докажите, что прямая

$XY$ содержит среднюю линию треугольника

$ABC$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №11. Продолжения сторон

$AB$ и

$CD$ вписанного четырёхугольника

$ABCD$ пересекаются в точке

$P$ , а продолжения сторон

$AD$ и

$BC$ — в точке

$Q$ . Докажите, что расстояние между ортоцентрами треугольников

$APD$ и

$AQB$ равно расстоянию между ортоцентрами треугольников

$CQD$ и

$BPC$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №12. Точка

$I_1$ симметрична центру

$I$ вписанной окружности треугольника

$ABC$ относительно стороны

$BC$ . Описанная окружность треугольника

$BCI_1$ вторично пересекает прямую

$II_1$ в точке

$P$ . Известно, что

$P$ лежит вне вписанной окружности треугольника

$ABC$ . Из точки

$P$ проведены касательные к этой окружности, которые касаются ее в точках

$X$ и

$Y$ . Докажите, что прямая

$XY$ содержит среднюю линию треугольника

$ABC$ . ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Задача №13. Дан треугольник

$ABC$ . Точки

$A_1$ ,

$B_1$ и

$C_1$ — точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами

$BC$ ,

$CA$ и

$AB$ соответственно. Докажите, что из отрезков

$AA_1$ ,

$BB_1$ и

$CC_1$ можно составить треугольник. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада