Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Математикадан «Туймаада» олимпиадасы. Жоғары лига. 2005 жыл


ABC үшбұрышы берілген. Үшбұрышқа іштейсырт сызылған шеңберлер BC, CA, AB қабырғаларын сәйкес түрде A1, B1, C1 нүктелерінде жанайды. AA1, BB1, CC1 кесінділерінен үшбұрыш құрастыруға болатынын дәлелде. ( Л. Емельянов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
1 года 9 месяца назад #

Пусть T,N,S точки касания вписанной окружности со сторонами AC,AB,BC тогда по свойству вневписанной окружности AT=CB1,AC1=BN, BS=CA1 пусть AT=x, BS=y, CS=z или AB=x+y, BC=y+z, AC=x+z

по т.косинусов B1B=x2+(y+z)22x(y+z)cosACB но cosACB=z2+yz+xzxy(x+z)(y+z) тогда

B1B=(x+y+z)((xz)2x+z+y) аналогично остальные

тогда нужно доказать по неравенств треугольников, без о.о и так как x+y+z>0 и x,y,z>0

S=(xz)2x+z+y+(yz)2y+z+x>(xy)2x+y+z

Применим неравенство a+ba+b очевидно что (xz)2x+z+y>0 аналогично остальные

S(xz)2x+z+y+(yz)2y+z+x>(xy)2x+y+z откуда

(xz)2x+z+y+(yz)2y+z+x>(xy)2x+y+z

или x3y+xy3+x3z+z3x+y3z+z3y+6x2y22y2z22x2z2(x+y)(y+z)(x+z)>0

так как x3z+z3x2x2z2,  y3z+z3y2y2z2 откуда и выходит неравенство .