Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2005 год
Комментарий/решение:
Пусть T,N,S точки касания вписанной окружности со сторонами AC,AB,BC тогда по свойству вневписанной окружности AT=CB1,AC1=BN, BS=CA1 пусть AT=x, BS=y, CS=z или AB=x+y, BC=y+z, AC=x+z
по т.косинусов B1B=√x2+(y+z)2−2x(y+z)⋅cos∠ACB но cos∠ACB=z2+yz+xz−xy(x+z)(y+z) тогда
B1B=√(x+y+z)⋅((x−z)2x+z+y) аналогично остальные
тогда нужно доказать по неравенств треугольников, без о.о и так как x+y+z>0 и x,y,z>0
S=√(x−z)2x+z+y+√(y−z)2y+z+x>√(x−y)2x+y+z
Применим неравенство √a+√b≥√a+b очевидно что (x−z)2x+z+y>0 аналогично остальные
S≥√(x−z)2x+z+y+(y−z)2y+z+x>√(x−y)2x+y+z откуда
(x−z)2x+z+y+(y−z)2y+z+x>(x−y)2x+y+z
или x3y+xy3+x3z+z3x+y3z+z3y+6x2y2−2y2z2−2x2z2(x+y)(y+z)(x+z)>0
так как x3z+z3x≥2x2z2, y3z+z3y≥2y2z2 откуда и выходит неравенство .
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.