Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада Туймаада по математике. Старшая лига. 2005 год


Дан треугольник ABC. Точки A1, B1 и C1 — точки касания вневписанных окружностей треугольника со сторонами BC, CA и AB соответственно. Докажите, что из отрезков AA1, BB1 и CC1 можно составить треугольник. ( Л. Емельянов )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
1 года 6 месяца назад #

Пусть T,N,S точки касания вписанной окружности со сторонами AC,AB,BC тогда по свойству вневписанной окружности AT=CB1,AC1=BN, BS=CA1 пусть AT=x, BS=y, CS=z или AB=x+y, BC=y+z, AC=x+z

по т.косинусов B1B=x2+(y+z)22x(y+z)cosACB но cosACB=z2+yz+xzxy(x+z)(y+z) тогда

B1B=(x+y+z)((xz)2x+z+y) аналогично остальные

тогда нужно доказать по неравенств треугольников, без о.о и так как x+y+z>0 и x,y,z>0

S=(xz)2x+z+y+(yz)2y+z+x>(xy)2x+y+z

Применим неравенство a+ba+b очевидно что (xz)2x+z+y>0 аналогично остальные

S(xz)2x+z+y+(yz)2y+z+x>(xy)2x+y+z откуда

(xz)2x+z+y+(yz)2y+z+x>(xy)2x+y+z

или x3y+xy3+x3z+z3x+y3z+z3y+6x2y22y2z22x2z2(x+y)(y+z)(x+z)>0

так как x3z+z3x2x2z2,  y3z+z3y2y2z2 откуда и выходит неравенство .