Л. Емельянов

Есеп №1.

$ABCD$ трапециясының

$A$ және

$C$ бұрыштарының биссектрисалары

$P$ нүктесінде қиылысады, ал

$B$ және

$D$ бұрыштарының биссектрисалары

$P$ нүктесінен өзгеше,

$Q$ нүктесінде қиылысады. Егер

$PQ$ кесіндісі

$AD$ табанына параллель болса, онда трапеция теңбүйрлі екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2. Арасында кез келген санды алып, оған қалған екеуінің квадраттарының қосындысын қоссақ, онда таңдалған санға тәуелсіз бірдей нәтиже шығатындай үш оң сан берілген. Бастапқы сандардың ішінде екі сан бірдей екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №3.

$ABC$ үшбұрышының

$BC$ қабырғасынан

$AD$ түзуінің орта перпендикуляры

$ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңберінің центрі арқылы өтетіндей

$D$ нүктесі алынған. Ондай болса, сол орта сызық

$ABC$ үшбұрышының төбесі арқылы өтетінін дәлелде. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Синдбадтың шиланында сырт жағынан бірдей 11 динар бар. Динарлардың ішінде салмағы жағынан шын динардан өзгеше (ауыр ма немеме жеңіл ма белгісіз) бір жалған динар болуы мүмкін. Егер саудагер Сидбадқа гирсіз табақты таразымен екі рет қана қолдануға рұқсат берсе, Синдбад шын сегіз динармен саудагермен қалай есеп айырыса алады? ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары

$0 < a\le b\le d\le c$ және

$a+c=b+d$ шарттарын қанағаттандырады. Ұзындығы

$a$ болатын кесіндінің ішінде орналасқан

$P$ нүктесі үшін, қабырғалары

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ болатын төртбұрыштың бір қабырғасы

$a$ екенін дәлелдеңіз, егер осы төртбұрышқа іштей сызылған шеңбер

$P$ нүктесі арқылы өтсе. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №6.

$\angle BDC=90{}^\circ$ болатындай,

$ABC$ үшбұрышының

${{AA}_{1}}$ биіктігінен

$D$ нүктесі алынды.

$H$ нүктесі

$ABC$ үшбұрышының ортоцентрі.

$AH$ кесіндісі диаметр ретінде алынып, осы диаметр бойынша шеңбер салынды. Осы шеңберге

$B$ нүктесінен жүргізілген жанаманың ұзындығы,

$BD$ кесіндісінің ұзындығына тең екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(2) олимпиада

Есеп №7.

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ сандары

$0 < a\le b\le d\le c$ және

$a+c=b+d$ шарттарын қанағаттандырады. Ұзындығы

$a$ болатын кесіндінің ішінде орналасқан

$P$ нүктесі үшін, қабырғалары

$a$ ,

$b$ ,

$c$ ,

$d$ болатын төртбұрыштың бір қабырғасы

$a$ екенін дәлелдеңіз, егер осы төртбұрышқа іштей сызылған шеңбер

$P$ нүктесі арқылы өтсе. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №8. Центрі,

$ABC$ үшбұрышының

$A$ төбесінде орналасқан

${{\omega }_{A}}$ шеңберінің радиусы,

$BC$ қабырғасымен жанасатын іштейсырт шербердің радиусына тең. Дәл осылай

${{\omega }_{B}}$ және

${{\omega }_{C}}$ шеңберлері салынады. Егер осы шеңберлердің кез-келген екеуі жанасса, әрбір екі шеңбер жанасатынын дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9.

$A{{A}_{1}}$ түзуі төртбұрыштың ауданын тең екіге бөлетіндей, дөңес

$ABCD$ төртбұрышының периметрінде

${{A}_{1}}$ нүктесі алынды. Ұқсас жолмен

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ және

${{D}_{1}}$ нүктелері анықталды. Төбелері

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ ,

${{D}_{1}}$ болатын дөңес төртбұрыштың ауданы,

$ABCD$ төртбұрышының ауданының төрттен бір бөлігінен артық екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10.

${{I}_{1}}$ нүктесі

$BC$ қабырғасына қатысты

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$I$ нүктесіне симметриялы.

$BC{{I}_{1}}$ шеңбері,

$I{{I}_{1}}$ түзуін екінші рет

$P$ нүктесінде қияды.

$P$ нүктесі,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің сыртында орналасқаны белгілі.

$P$ нүктесінен осы шеңберге,

$X$ және

$Y$ нүктелерінде жанамалар жүргізілді.

$XY$ түзуі

$ABC$ үшбұрышының орта сызығын қамтитынын дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №11. Іштей сызылған

$ABCD$ төртбұрышының

$AB$ және

$CD$ қабырғаларының созындылары

$P$ нүктесінде, ал

$AD$ және

$BC$ қабырғаларының созындылары

$Q$ нүктесінде қиылысады.

$APD$ және

$AQB$ үшбұрыштарының ортоцентрлері арасындағы арақашықтық пен

$CQD$ және

$BPC$ үшбұрыштарының ортоцентрлері арасындағы арақашықтық бердей екенін дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №12.

${{I}_{1}}$ нүктесі

$BC$ қабырғасына қатысты

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің центрі

$I$ нүктесіне симметриялы.

$BC{{I}_{1}}$ шеңбері,

$I{{I}_{1}}$ түзуін екінші рет

$P$ нүктесінде қияды.

$P$ нүктесі,

$ABC$ үшбұрышына іштей сызылған шеңбердің сыртында орналасқаны белгілі.

$P$ нүктесінен осы шеңберге,

$X$ және

$Y$ нүктелерінде жанамалар жүргізілді.

$XY$ түзуі

$ABC$ үшбұрышының орта сызығын қамтитынын дәлелдеңіз. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение олимпиада

Есеп №13.

$ABC$ үшбұрышы берілген. Үшбұрышқа іштейсырт сызылған шеңберлер

$BC$ ,

$CA$ ,

$AB$ қабырғаларын сәйкес түрде

${{A}_{1}}$ ,

${{B}_{1}}$ ,

${{C}_{1}}$ нүктелерінде жанайды.

$A{{A}_{1}}$ ,

$B{{B}_{1}}$ ,

$C{{C}_{1}}$ кесінділерінен үшбұрыш құрастыруға болатынын дәлелде. ( Л. Емельянов )
комментарий/решение(1) олимпиада