Олимпиада имени Леонарда Эйлера2011-2012 учебный год, I тур заключительного этапа

На стороне $BC$ треугольника $ABC$ взята точка $D$ таким образом, что серединный перпендикуляр к отрезку $AD$ проходит через центр вписанной в треугольник $ABC$ окружности. Докажите, что этот перпендикуляр проходит через вершину треугольника $ABC$. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Опустим из центра $J$ вписанной в треугольник окружности перпендикуляр $JN$ на сторону $CB$. Допустим, точка $N$ лежит на отрезке $DC$ (случай, когда точка $N$ лежит на отрезке $DB$, разбирается аналогично.). Опустим из центра $J$ перпендикуляр $JM$ на сторону $CA$. Поскольку $JA = JD$ и $JM = JN$, прямоугольные треугольники $JMA$ и $JND$ равны. Поэтому $AM = DN$. Складывая это равенство с равенством $CM = CN$, получаем $CA = CD$. Осталось заметить, что серединный перпендикуляр к основанию $AD$ равнобедренного треугольника $CAD$ проходит через его вершину $C$, что и требовалось доказать.