Леонард Эйлер атындағы олимпиада,2011-2012 оқу жылы, қорытынды кезеңнің 1-ші туры

$ABC$ үшбұрышының $BC$ қабырғасынан $AD$ түзуінің орта перпендикуляры $ABC$ үшбұрышының іштей сызылған шеңберінің центрі арқылы өтетіндей $D$ нүктесі алынған. Ондай болса, сол орта сызық $ABC$ үшбұрышының төбесі арқылы өтетінін дәлелде. ( Л. Емельянов )

Комментарий/решение

Комментарии от администратора Комментарии от администратора №1.     Решение. Опустим из центра $J$ вписанной в треугольник окружности перпендикуляр $JN$ на сторону $CB$. Допустим, точка $N$ лежит на отрезке $DC$ (случай, когда точка $N$ лежит на отрезке $DB$, разбирается аналогично.). Опустим из центра $J$ перпендикуляр $JM$ на сторону $CA$. Поскольку $JA = JD$ и $JM = JN$, прямоугольные треугольники $JMA$ и $JND$ равны. Поэтому $AM = DN$. Складывая это равенство с равенством $CM = CN$, получаем $CA = CD$. Осталось заметить, что серединный перпендикуляр к основанию $AD$ равнобедренного треугольника $CAD$ проходит через его вершину $C$, что и требовалось доказать.