К. Кноп

Есеп №1. Сырт жағынан бірдей болып келетін 100 тиын устел үстінде жатыр. Оның 85-і жалған, 15-і шың. Бізде ғажайып тестер бар. Егер сол тестерге екі тиынды салсақ, екеуі де жалған», «екеуі де шың» және «тиындар әр түрлі» деген жауап аламыз. Осындай 64 тесттің көмегімен барлық жалған тиындарды табуға бола ма? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №2.

$n$ саны — 1-ден үлкен натурал сан болсын. Костяда, егер салмағы жағынан әр түрлі

$2n+1$ тиын салсақ, салмағы жағынан қайсысы ортанғы екенін көрсететін құрал бар. Барон Мюнхгаузен Костяға салмағы жағынан әр түрлі

$4n+1$ тиын берді және де ішіндігі бір тиынды салмағы жағынан ортаңғысы деп көрсетті. Өзінің құралымен ең көп дегенде

$n+2$ өлшеу жүргізу арқылы Барон Мюнхгаузеннің шың немесе өтірік айтқанын Костя қалай тексере алады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №3. Дөңес

$ABCDE$ бесбұрышында

$BE$ түзуі

$CD$ түзуіне параллель және

$BE$ кесіндісі

$CD$ кесіндісінен қысқа. Бесбұрыштың ішінен

$ABCF$ және

$AGDE$ — параллелограммдар болатындай

$F$ пен

$G$ нүктелері алынған.

$CD=BE+FG$ екенін дәлелдеңдер. ( С. Берлов, К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №4. Сырт жағынан бірдей 49 тиындар ішінде 25-і шын және 24-і жалған. Жалған тиындарды анықтауға арналған тестер бар. Оған кез келген мөлшерде тиын салуға болады, және егер олардың ішінде жартысынын көбі жалған болса, онда тестер ескерту береді. Бес тест жасау арқылы екі жалған тиынды қалай тапса болады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №5. Зевсте қойылған салмақтың массасын анықтап беретін таразы мен ішінде 100 тиыны бар қап бар. Қаптың ішінде массасы 10 және 9 грамдық тиындар бар. Зевске каптың ішінде қанша 10 грамдық

$N$ тиын бар екені белгілі, бірақ қай тиын қандай салмақты екені белгісіз. Ол төрт өлшем жасау арқылы кепілді түрде қандай да бір 9 грамдық тиынды тапқысы келеді.

$N$ -нің қандай ең үлкен мәнінде ол 9-грамдық тиынды таба алады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №6. Ұзындығы 90 болатын шеңбер берілген. Ұштары осы нүктелерде болатын және 1-ден 89-ға дейінгі барлық бүтін ұзындықтары бар доғалар табылатындай шеңбер бойынан 10 нүкте белгілеп шығуға болады ма? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №7. KK42 құрылғысы келесідей жұмыс істейді: егер сіз оған төрт шар салсаңыз, онда бірінші науаға салмағы бойынша екінші шар түседі (яғни, егер

$a > b > c > d$ болса

$b$ шары түседі), ал екінші науада қалғандары түседі. Егер құрылғыға 4-тен өзгеше шар салынса, құрылғы жұмыс істемейді. Сырт пішіндері бірдей, салмақтары қос-қостан әртүрлі 100 шар бар. Оларды

$1, 2, \ldots, 100$ сандарымен нөмірленген. Құрылғыны 100-ден артық емес қолдану арқылы ең ауыр шарды қалай табуға болады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №8. У царя Гиерона есть 13 металлических слитков, неразличимых на вид; царь знает, что их веса (в некотором порядке) равны 1, 2,

$\ldots,$ 13 кг. Ещё у него есть прибор, в который можно положить один или несколько из имеющихся 13 слитков, и он просигналит, если их суммарный вес равен ровно 46 кг. Архимед, знающий веса всех слитков, хочет написать на двух слитках их веса и за два использования прибора доказать Гиерону, что обе надписи правильны. Как действовать Архимеду? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №9. Зергерде 100 алтын тиын бар. Сатып алушы осы тиындардың салмақтары қандай да бір ретте 1, 2,

$\ldots$ , 100 г екенін, ал зергер әр тиынның салмағы қандай екенін біледі. Зергер сатып алушыға 1 грамдық тиынның шынымен 1 грамм екенін дәлелдегісі келеді, бірақ әр қалған тиынның дәл салмағын көрсеткісі келмейді. Зергер екі табақты таразыда тек екі өлшеу арқылы өз дегеніне қалай жете алады? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада

Есеп №10. Кванттық компьютер әр қосу немесе көбейту операциясын орындау үшін 1 кВт/сағ электрэнергиясын жұмсайды. Оған қоса компьютер өзі есептеген нәтижені есте сақтай алады. Компьютер есіндегі кез келген

$a$ ,

$b,$

$c$ ,

$d$ ,

$e$ сандары үшін 10 кВт/сағ-тан аспайтын электрэнергиясын жұмсау арқылы

$ab+ac+ad+ae+bc+bd+be+cd+ce+de$ қосындысын таба алатынымызды дәлелдеңіз. ( К. Кноп )
комментарий/решение(3) олимпиада

Есеп №11. Әрқайсысы 11 тиыннан тұратын екі үйін бар. Әр үйінде 10 жалған емес және 1 жалған тиын бар екені белгілі, және жалған тиын салмағы жалған емес тиыннан жеңіл болып келеді. Барлық жалған емес тиындардың салмақтары бірдей, және екі жалған тиындардың да салмақтары да бірдей. Екі табақты таразының көмегімен бір өлшем жасау арқылы кепілді түрде кем дегенде 8 жалған емес тиынды таба аламыз ба? ( К. Кноп )
комментарий/решение(1) олимпиада