Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа


Есть две кучки по 11 монет в каждой. Известно, что в каждой кучке 10 настоящих монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, обе фальшивые — тоже. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах гарантированно найти не менее 8 настоящих монет? ( К. Кноп )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   16
3 месяца 4 дней назад #

Бірінші үйіннен 3 тиын аламыз, ал екінші үйіннен 5 тиын аламыз. Екеуін екі түрлі табаққа қоямыз. 3 тиын қойған табақта шыққан салмақты 5/3 көбейтейік

1) Егер көбейткенде екі жақ тең болса екі жақтада тек шын тиындар

2) Егер көбейткенде көбірек болса 5 тиын бар табақтың ішінде, бесеуінің ішінде кем дегенде бір жалған тиын бар. Бізде мына табақта 3 тиын және екінші үйінде 6 тиын бар

3) Егер 3 монета бар табақта бір жалған тиын болса оны 5/3 көбейтсек аз болады

4) Егер екі жақтада бір жалған болса десек және білмесек. Шын тиынды n деп, жалған тиынды k алайық. Бірінші табақта 2n+k ал екішні табақта 4n+k. Бірншіге 5/3 көбейткенде 10n/3+5k/3. Екінші жақта 4n+k=12n/3+3k/3. Екіншіден біріншіні азайтқанда 2n/32k/3>0, себебі n>k және n/3>k/3 және 2n/3>2k/3. Демек 3 тиын бар табаққа 5/3 көбейткенде екінші табақтағы 5 тиыннан аз болса, 3 тиын бар табақтын ішінде кем дегенде бір жалған тиын бар. Және сол 3 тиын алған табақта 8 шын тиын қалды. 8 шын тиын табылды