Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Есть две кучки по 11 монет в каждой. Известно, что в каждой кучке 10 настоящих монет и одна фальшивая, которая легче настоящей. Все настоящие монеты весят одинаково, обе фальшивые — тоже. Можно ли за одно взвешивание на чашечных весах гарантированно найти не менее 8 настоящих монет? ( К. Кноп )

Комментарий/решение

Бірінші үйіннен $3$ тиын аламыз, ал екінші үйіннен $5$ тиын аламыз. Екеуін екі түрлі табаққа қоямыз. $3$ тиын қойған табақта шыққан салмақты $5/3$ көбейтейік

$1)$ Егер көбейткенде екі жақ тең болса екі жақтада тек шын тиындар

$2)$ Егер көбейткенде көбірек болса $5$ тиын бар табақтың ішінде, бесеуінің ішінде кем дегенде бір жалған тиын бар. Бізде мына табақта $3$ тиын және екінші үйінде $6$ тиын бар

$3)$ Егер $3$ монета бар табақта бір жалған тиын болса оны $5/3$ көбейтсек аз болады

$4)$ Егер екі жақтада бір жалған болса десек және білмесек. Шын тиынды $n$ деп, жалған тиынды $k$ алайық. Бірінші табақта $2n+k$ ал екішні табақта $4n+k$. Бірншіге $5/3$ көбейткенде $10n/3 + 5k/3$. Екінші жақта $4n+k=12n/3 + 3k/3$. Екіншіден біріншіні азайтқанда $2n/3 - 2k/3 > 0$, себебі $n>k$ және $n/3>k/3$ және $2n/3>2k/3$. Демек $3$ тиын бар табаққа $5/3$ көбейткенде екінші табақтағы $5$ тиыннан аз болса, $3$ тиын бар табақтын ішінде кем дегенде бір жалған тиын бар. Және сол $3$ тиын алған табақта $8$ шын тиын қалды. $8$ шын тиын табылды