Олимпиада имени Леонарда Эйлера 2024-2025 учебный год, III тур дистанционного этапа

Әрқайсысы 11 тиыннан тұратын екі үйін бар. Әр үйінде 10 жалған емес және 1 жалған тиын бар екені белгілі, және жалған тиын салмағы жалған емес тиыннан жеңіл болып келеді. Барлық жалған емес тиындардың салмақтары бірдей, және екі жалған тиындардың да салмақтары да бірдей. Екі табақты таразының көмегімен бір өлшем жасау арқылы кепілді түрде кем дегенде 8 жалған емес тиынды таба аламыз ба? ( К. Кноп )

Комментарий/решение

Бірінші үйіннен $3$ тиын аламыз, ал екінші үйіннен $5$ тиын аламыз. Екеуін екі түрлі табаққа қоямыз. $3$ тиын қойған табақта шыққан салмақты $5/3$ көбейтейік

$1)$ Егер көбейткенде екі жақ тең болса екі жақтада тек шын тиындар

$2)$ Егер көбейткенде көбірек болса $5$ тиын бар табақтың ішінде, бесеуінің ішінде кем дегенде бір жалған тиын бар. Бізде мына табақта $3$ тиын және екінші үйінде $6$ тиын бар

$3)$ Егер $3$ монета бар табақта бір жалған тиын болса оны $5/3$ көбейтсек аз болады

$4)$ Егер екі жақтада бір жалған болса десек және білмесек. Шын тиынды $n$ деп, жалған тиынды $k$ алайық. Бірінші табақта $2n+k$ ал екішні табақта $4n+k$. Бірншіге $5/3$ көбейткенде $10n/3 + 5k/3$. Екінші жақта $4n+k=12n/3 + 3k/3$. Екіншіден біріншіні азайтқанда $2n/3 - 2k/3 > 0$, себебі $n>k$ және $n/3>k/3$ және $2n/3>2k/3$. Демек $3$ тиын бар табаққа $5/3$ көбейткенде екінші табақтағы $5$ тиыннан аз болса, $3$ тиын бар табақтын ішінде кем дегенде бір жалған тиын бар. Және сол $3$ тиын алған табақта $8$ шын тиын қалды. $8$ шын тиын табылды