Romania

Задача №1. Определите вид треугольника со сторонами

$a,b,c$ и радиусом описанной окружности

$R$ , для которого выполнено соотношение

$R(b+c) = a\sqrt{bc}$ . ( Romania )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №2. Пусть

$A_n = 2^{3n}+3^{6n+2}+5^{6n+2}$ при всех целых неотрицательных

$n$ . Найдите наибольший общий делитель чисел

$A_0$ ,

$A_1$ ,

$\ldots$ ,

$A_{1999}$ . ( Romania )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. Решите уравнение

$a^3+b^3+c^3=2001$ в натуральных числах. ( Romania )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №4. Пусть на плоскости отмечено

$n$ точек так, что никакие три из них не лежат на одной прямой и как бы мы не обозначили их буквами

$A_1,A_2,\ldots,A_n$ ломанная

$A_1A_2\ldots A_n$ не будет самопересекающейся. Найдите максимально возможное значение числа

$n$ . ( Romania )
комментарий/решение(2) олимпиада

Задача №5. Пусть

$x$ ,

$y$ положительные действительные числа, для которых справедливо равенство

$x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000.$ Докажите, что

$x + y = 10$ . ( Romania )
комментарий/решение(2) олимпиада