Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год


Задача №1.  Пусть x, y положительные действительные числа, для которых справедливо равенство x3+y3+(x+y)3+30xy=2000. Докажите, что x+y=10. ( Romania )
комментарий/решение(2)
Задача №2.  Найдите все натуральные числа n такие, что число n2+3n является точным квадратом. ( Bulgaria )
комментарий/решение(3)
Задача №3.  Полуокружность с диаметром EF расположена на стороне BC треугольника ABC так, что она касается сторон AB и AC в точках Q и P соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых EP и FQ лежит на высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A. ( Albania )
комментарий/решение(5)
Задача №4.  В теннисном турнире участвуют 2n мальчиков и n девушек. Все участники играют по одному разу с каждым другим участником. Юноши выиграли в 75 раз больше матчей чем девушки. Известно, что ничей в теннисе не бывает. Найдите n. ( Serbia )
комментарий/решение(3)