4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год
Задача №1. Пусть x, y положительные действительные числа, для которых справедливо равенство x3+y3+(x+y)3+30xy=2000. Докажите, что x+y=10.
(
Romania
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Найдите все натуральные числа n такие, что число n2+3n является точным квадратом.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №3. Полуокружность с диаметром EF расположена на стороне BC треугольника ABC так, что она касается сторон AB и AC в точках Q и P соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых EP и FQ лежит на высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A.
(
Albania
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №4. В теннисном турнире участвуют 2n мальчиков и n девушек. Все участники играют по одному разу с каждым другим участником. Юноши выиграли в 75 раз больше матчей чем девушки. Известно, что ничей в теннисе не бывает. Найдите n.
(
Serbia
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)