Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год


Пусть x, y положительные действительные числа, для которых справедливо равенство x3+y3+(x+y)3+30xy=2000. Докажите, что x+y=10. ( Romania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

пред. Правка 2   3
8 года назад #

x3+y3+(x+y)3+30xy=2000 (x+y)(2(x+y)23xy)+30xy=2000

{x+y=Vxy=t

2V33tV+30t2000=0 2(V3103)3t(V10)=0 (V10)(2V2+20V+2003t)=0V=10x+y=10

  6
1 года 7 месяца назад #

(x+y)3+x3+y3+30xy=2000

(x+y)3+x3+y3+30xy2000=0

x3+3x2y+3xy2+y3+x3+y3+30xy2000=0

2x3+6x2y+6xy2+2y33xy(x+y10)1022

2((x+y)3102)3xy(x+y10)=0

2(x+y10)((x+y)2+10x+10y+100)3xy(x+y10)=0

(x+y10)((2(x+y)2+20x+20y+200)3xy)=0

Так как a,b натуральные значит вторая скобка не может равняться 0 значит x+y=10