4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Охрид, Македония, 2000 год

Пусть $x$, $y$ положительные действительные числа, для которых справедливо равенство $x^3 + y^3 + (x + y)^3 + 30xy = 2000. $ Докажите, что $x + y = 10$. ( Romania )

Комментарий/решение

$$x^3+y^3+(x+y)^3+30xy=2000\Rightarrow$$ $$(x+y)(2(x+y)^2-3xy)+30xy=2000\Rightarrow$$

$$\Rightarrow \left\{ \begin{gathered} x+y=V \\ xy=t \\ \end{gathered} \right.\Rightarrow$$

$$\Rightarrow 2V^3-3tV+30t-2000=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow 2(V^3-10^3)-3t(V-10)=0\Rightarrow$$ $$\Rightarrow (V-10)(2V^2+20V+200-3t)=0 \Rightarrow V=10 \Rightarrow x+y=10$$

$(x+y)^3+x^3+y^3+30xy=2000$

$(x+y)^3+x^3+y^3+30xy-2000=0$

$x^3+3x^2y+3xy^2+y^3+x^3+y^3+30xy-2000=0$

$2x^3+6x^2y+6xy^2+2y^3-3xy(x+y-10)-10^2*2$

$2((x+y)^3-10^2)-3xy(x+y-10)=0$

$2(x+y-10)((x+y)^2+10x+10y+100)-3xy(x+y-10)=0$

$(x+y-10)((2(x+y)^2+20x+20y+200)-3xy)=0$

Так как $a,b$ натуральные значит вторая скобка не может равняться 0 значит $x+y=10$