4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год
Пусть x, y положительные действительные числа, для которых справедливо равенство x3+y3+(x+y)3+30xy=2000. Докажите, что x+y=10.
(
Romania
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
x3+y3+(x+y)3+30xy=2000⇒ (x+y)(2(x+y)2−3xy)+30xy=2000⇒
⇒{x+y=Vxy=t⇒
⇒2V3−3tV+30t−2000=0⇒ ⇒2(V3−103)−3t(V−10)=0⇒ ⇒(V−10)(2V2+20V+200−3t)=0⇒V=10⇒x+y=10
(x+y)3+x3+y3+30xy=2000
(x+y)3+x3+y3+30xy−2000=0
x3+3x2y+3xy2+y3+x3+y3+30xy−2000=0
2x3+6x2y+6xy2+2y3−3xy(x+y−10)−102∗2
2((x+y)3−102)−3xy(x+y−10)=0
2(x+y−10)((x+y)2+10x+10y+100)−3xy(x+y−10)=0
(x+y−10)((2(x+y)2+20x+20y+200)−3xy)=0
Так как a,b натуральные значит вторая скобка не может равняться 0 значит x+y=10
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.