4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год
Полуокружность с диаметром EF расположена на стороне BC треугольника ABC так, что она касается сторон AB и AC в точках Q и P соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых EP и FQ лежит на высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A.
(
Albania
)
посмотреть в олимпиаде
Комментарий/решение:
Пусть k∈EP∩QF, причем K лежит вне данной окружности, тогда если ∠AKQ=α, a ∠AKP=β, то ∠KEQ+∠KFP=∠PQA+∠PAQ=180−2(α+β),⇒∠PAQ=2(α+β), отсюда следует, что K лежит на окружности с центром А, и радиусом PA, то есть AP=AQ=AK, пусть L∈EQ∩PF, тогда PKQL лежат на 1 окружности, причем KL - диаметр, ⇒K,A and L are collinear. Продлеваем AL до пересечения с EF, заметим, что ∠QFE=180−∠EPQ=∠KPQ=(90−α−β)+β=90−α, но ∠KLQ=90−α, то есть L,Q,F и точка пересечения EF с KL лежат на 1 окружности, но ∠LQF=90,⇒KL⊥EF.
Если же K лежит внутри окружности, то просто меняем местами K и L
Возможно, что при неправильном наборе формул, они будут
доредактированы модератором. При этом содержание не будет меняться.