4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Охрид, Македония, 2000 год

Полуокружность с диаметром $EF$ расположена на стороне $BC$ треугольника $ABC$ так, что она касается сторон $AB$ и $AC$ в точках $Q$ и $P$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых $EP$ и $FQ$ лежит на высоте треугольника $ABC$, опущенной из вершины $A$. ( Albania )

Комментарий/решение

Что значит полуокружность расположена на стороне $BC$? $BC$ же просто секущая для этой окружности? Можете объяснить?

Мне кажется что сказано что $EF$ лежит на стороне $BC$.

Да, оказывается. Условие понял, спасибо

Пусть $k \in EP \cap QF,$ причем $K$ лежит вне данной окружности, тогда если $\angle AKQ=\alpha$, a $\angle AKP=\beta$, то $\angle KEQ+\angle KFP=\angle PQA+\angle PAQ=180-2(\alpha+\beta), \Rightarrow \angle PAQ=2(\alpha+\beta)$, отсюда следует, что $K$ лежит на окружности с центром $А$, и радиусом $PA$, то есть $AP=AQ=AK$, пусть $L \in EQ \cap PF$, тогда $PKQL$ лежат на $1$ окружности, причем $KL$ - диаметр, $\Rightarrow K, A$ and $L$ are collinear. Продлеваем $AL$ до пересечения с $EF$, заметим, что $\angle QFE=180-\angle EPQ=\angle KPQ=(90-\alpha-\beta)+\beta=90-\alpha$, но $\angle KLQ=90-\alpha$, то есть $L, Q, F$ и точка пересечения $EF$ с $KL$ лежат на $1$ окружности, но $\angle LQF=90, \Rightarrow KL \bot EF$.

Если же $K$ лежит внутри окружности, то просто меняем местами $K$ и $L$

Обозначим: $$PE\cap QF=T, PF\cap QE=R$$

По теореме Паскаля на шестиугольник $PPFQQE$, точки $A, R, T$ лежат на одной прямой.

Заметим что точка $R$- ортоцентр треугольника $TEF$(так как $PF\perp PE$ и $QE\perp QF$). Следовательно $TR\perp BC$ и $AR\perp BC$, ч.т.д.