Processing math: 100%

4-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Охрид, Македония, 2000 год


Полуокружность с диаметром EF расположена на стороне BC треугольника ABC так, что она касается сторон AB и AC в точках Q и P соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых EP и FQ лежит на высоте треугольника ABC, опущенной из вершины A. ( Albania )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 9 месяца назад #

Что значит полуокружность расположена на стороне BC? BC же просто секущая для этой окружности? Можете объяснить?

  0
3 года 9 месяца назад #

Мне кажется что сказано что EF лежит на стороне BC.

  2
3 года 9 месяца назад #

Да, оказывается. Условие понял, спасибо

  3
3 года 9 месяца назад #

Пусть kEPQF, причем K лежит вне данной окружности, тогда если AKQ=α, a AKP=β, то KEQ+KFP=PQA+PAQ=1802(α+β),PAQ=2(α+β), отсюда следует, что K лежит на окружности с центром А, и радиусом PA, то есть AP=AQ=AK, пусть LEQPF, тогда PKQL лежат на 1 окружности, причем KL - диаметр, K,A and L are collinear. Продлеваем AL до пересечения с EF, заметим, что QFE=180EPQ=KPQ=(90αβ)+β=90α, но KLQ=90α, то есть L,Q,F и точка пересечения EF с KL лежат на 1 окружности, но LQF=90,KLEF.

Если же K лежит внутри окружности, то просто меняем местами K и L

  2
2 года 8 месяца назад #

Обозначим: PEQF=T,PFQE=R

По теореме Паскаля на шестиугольник PPFQQE, точки A,R,T лежат на одной прямой.

Заметим что точка R- ортоцентр треугольника TEF(так как PFPE и QEQF). Следовательно TRBC и ARBC, ч.т.д.