Математикадан жасөспірімдер арасындағы 4-ші Балкан олимпиадасы 2000 жыл, Охрид, Македония

$ABC$ үшбұрышында $AB$ және $AC$ қабырғаларын сәйкесінше $Q$ және $P$ нүктелерінде жанайтындай $EF$ диаметрі $BC$ қабырғасында жататын жарты шеңбер жүргізілген. $EP$ және $FQ$ түзулерінің қиылысу нүктесі $ABC$ үшбұрышындағы $A$ төбесінен түсірілген биіктікте жататынын дәлелдеңіздер. ( Albania )

Комментарий/решение

Что значит полуокружность расположена на стороне $BC$? $BC$ же просто секущая для этой окружности? Можете объяснить?

Мне кажется что сказано что $EF$ лежит на стороне $BC$.

Да, оказывается. Условие понял, спасибо

Пусть $k \in EP \cap QF,$ причем $K$ лежит вне данной окружности, тогда если $\angle AKQ=\alpha$, a $\angle AKP=\beta$, то $\angle KEQ+\angle KFP=\angle PQA+\angle PAQ=180-2(\alpha+\beta), \Rightarrow \angle PAQ=2(\alpha+\beta)$, отсюда следует, что $K$ лежит на окружности с центром $А$, и радиусом $PA$, то есть $AP=AQ=AK$, пусть $L \in EQ \cap PF$, тогда $PKQL$ лежат на $1$ окружности, причем $KL$ - диаметр, $\Rightarrow K, A$ and $L$ are collinear. Продлеваем $AL$ до пересечения с $EF$, заметим, что $\angle QFE=180-\angle EPQ=\angle KPQ=(90-\alpha-\beta)+\beta=90-\alpha$, но $\angle KLQ=90-\alpha$, то есть $L, Q, F$ и точка пересечения $EF$ с $KL$ лежат на $1$ окружности, но $\angle LQF=90, \Rightarrow KL \bot EF$.

Если же $K$ лежит внутри окружности, то просто меняем местами $K$ и $L$

Обозначим: $$PE\cap QF=T, PF\cap QE=R$$

По теореме Паскаля на шестиугольник $PPFQQE$, точки $A, R, T$ лежат на одной прямой.

Заметим что точка $R$- ортоцентр треугольника $TEF$(так как $PF\perp PE$ и $QE\perp QF$). Следовательно $TR\perp BC$ и $AR\perp BC$, ч.т.д.