Albania

Задача №1. Найдите все пары натуральных чисел

$(x,y)$ , для которых справедливо равенство

$x^y = y^{x - y}.$ ( Albania )
комментарий/решение(4) олимпиада

Задача №2. Полуокружность с диаметром

$EF$ расположена на стороне

$BC$ треугольника

$ABC$ так, что она касается сторон

$AB$ и

$AC$ в точках

$Q$ и

$P$ соответственно. Докажите, что точка пересечения прямых

$EP$ и

$FQ$ лежит на высоте треугольника

$ABC$ , опущенной из вершины

$A$ . ( Albania )
комментарий/решение(5) олимпиада

Задача №3. Найдите все тройки действительных чисел

$(a,b,c)$ удовлетворяющие условиям

$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\end{cases}$ ( Albania )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №4. Найдите все пары простых чисел

$(p,q)$ для которых число

$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$ также простое число. ( Albania )
комментарий/решение(4) олимпиада