24-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Греция, 2020 год

Задача №1. Найдите все тройки действительных чисел

$(a,b,c)$ удовлетворяющие условиям

$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\end{cases}$ ( Albania )
комментарий/решение(3)

Задача №2. В треугольнике

$\triangle ABC$

$\angle BAC = 90^{\circ}$ а точка

$E$ — основание высоты из вершины

$A$ на сторону

$BC$ . На прямой

$AB$ отмечена точка

$Z \ne A$ такая, что

$AB = BZ$ . Обозначим через

$(c)$ описанную окружность

$\triangle AEZ$ . Прямая

$ZC$ вторично пересекает

$(c)$ в точке

$D$ , а отрезок

$DF$ — диаметр окружности

$(c)$ . Прямые

$FE$ и

$CZ$ пересекаются в точке

$P$ . Пусть касательная прямая к окружности

$(c)$ в точке

$Z$ пересекает прямую

$PA$ в точке

$T$ . Докажите, что точки

$T$ ,

$E$ ,

$B$ ,

$Z$ лежат на одной окружности. ( Cyprus )
комментарий/решение(5)

Задача №3. Алиса и Боб играют в следующую игру: Алиса выбирает некоторое натуральное число

$n \ge 2$ , затем формируется множество

$A = \{1, 2, \ldots, n \}$ . Игру начинает Боб, далее ходят по очереди. На каждом своём ходу игрок забирает себе одно число из множества, причем такую, что это число должно отличаться на 1 от его ранее выбранного (какого-либо) числа. (На первом ходу они могут выбирать любое число). Игра заканчивается тогда, когда во множестве не останется ни одного числа. Игру выиграет Алиса, если сумма всех ею выбранных чисел является составным числом, в противном случае побеждает Боб. У какого игрока есть выигрышная стратегия в такой игре? ( Cyprus )
комментарий/решение(3)

Задача №4. Найдите все пары простых чисел

$(p,q)$ для которых число

$1 + \frac{p^q - q^p}{p + q}$ также простое число. ( Albania )
комментарий/решение(4)