қазақша
русский24-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров. Греция, 2020 год
Задача №1. Найдите все тройки действительных чисел $(a,b,c)$ удовлетворяющие условиям $$\begin{cases} a+b+c=\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}, \\a^2+b^2+c^2=\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}.\end{cases}$$
(
Albania
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №2. В треугольнике $\triangle ABC$ $\angle BAC = 90^{\circ}$ а точка $E$ — основание высоты из вершины $A$ на сторону $BC$. На прямой $AB$ отмечена точка $Z \ne A$ такая, что $AB = BZ$. Обозначим через $(c)$ описанную окружность $\triangle AEZ$. Прямая $ZC$ вторично пересекает $(c)$ в точке $D$, а отрезок $DF$ — диаметр окружности $(c)$. Прямые $FE$ и $CZ$ пересекаются в точке $P$. Пусть касательная прямая к окружности $(c)$ в точке $Z$ пересекает прямую $PA$ в точке $T$. Докажите, что точки $T$, $E$, $B$, $Z$ лежат на одной окружности.
(
Cyprus
)
комментарий/решение(5)
комментарий/решение(5)
Задача №3. Алиса и Боб играют в следующую игру: Алиса выбирает некоторое натуральное число $ n \ge 2 $, затем формируется множество $ A = \{1, 2, \ldots, n \} $. Игру начинает Боб, далее ходят по очереди. На каждом своём ходу игрок забирает себе одно число из множества, причем такую, что это число должно отличаться на 1 от его ранее выбранного (какого-либо) числа. (На первом ходу они могут выбирать любое число). Игра заканчивается тогда, когда во множестве не останется ни одного числа. Игру выиграет Алиса, если сумма всех ею выбранных чисел является составным числом, в противном случае побеждает Боб. У какого игрока есть выигрышная стратегия в такой игре?
(
Cyprus
)
комментарий/решение(3)
комментарий/решение(3)
Задача №4. Найдите все пары простых чисел $(p,q)$ для которых число $1 + \frac{p^q - q^p}{p + q} $ также простое число.
(
Albania
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)