қазақша
русский2-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Афины, Греция, 1998 год
Задача №1. Докажите, что число $\underbrace{111\ldots 11}_{1997}\underbrace{22\ldots 22}_{1998}5$ (состоящее из 1997 единиц и 1998 двоек) является точным квадратом.
(
Yugoslavia
)
комментарий/решение(2)
комментарий/решение(2)
Задача №2. Пусть $ABCDE$ — выпуклый пятиугольник такой, что $AB=AE=CD=1$, $\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ и $BC+DE=1$. Вычислите площадь пятиугольника.
(
Greece
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все пары натуральных чисел $ (x,y)$, для которых справедливо равенство $x^y = y^{x - y}.$
(
Albania
)
комментарий/решение(4)
комментарий/решение(4)
Задача №4. Существует ли 16 трёхзначных натуральных чисел, которые всего содержат три различные цифры так, что все числа дают различные остатки при делении на 16?
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(9)
комментарий/решение(9)