2-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров Афины, Греция, 1998 год

Существует ли 16 трёхзначных натуральных чисел, которые всего содержат три различные цифры так, что все числа дают различные остатки при делении на 16? ( Bulgaria )

Комментарий/решение

Подходят эти числа

128 ;129 ;130 ;147 ;132 ;149 ;134 ;135 ;136 ;137 ;138 ;139 ;140 ;109 ;142 ;143.

Эти числа дают остатки от нуля до пятнадцати соответсвенно по модулью 16.

Ты, похоже, не понял условие, все 16 чисел должны состоять из определенных 3 цифр. Например, 456, 454, 465, 555 и т.д.

он че получается просто подобрал 16 различных чисел под различный остаток?

ахах получается, что да

интеллект к которому я стремлюсь

Лол

Пусть найдеться такие три числа пусть они x, y, z

Заметим что один из трех чисел четна и один нечетна , противном случае по модулю 2 имеем мксимум 8 разных остатков

следующее что нужно это рассмотреть случаи

возьмем последную числу как нечетное тогда первое две числа ху (я не умею писать на латехе) имею виду что ху = 10х+у

то ху * 10 по модулю 16 должен дать разные четные остатки заметим что ровно четыре случаях у четный (рассмотрим ху * 10 = 16к + 2r то ху * 5 = 8к + r)

это возможно когда мы имеем четыре разных числа х но по условию мы имеем тоько три разных чисел

Пора бы перейти на латекс(в будущем поможет,да и решение будет более приятными и понятными)

Ну в латексе довольно жарко, особенно скоро лето ведь, кажется лучше что-то другое