Математикадан жасөспірімдер арасындағы 3-ші Балкан олимпиадасы 1999 жыл, Пловдив, Болгария

Тек үш әр түрлі цифрдан тұратын және барлық сандар 16-ға бөлгенде әр түрлі қалдықтар беретін 16 үштаңбалы натурал сандар табылады ма? ( Bulgaria )

Комментарий/решение

Подходят эти числа

128 ;129 ;130 ;147 ;132 ;149 ;134 ;135 ;136 ;137 ;138 ;139 ;140 ;109 ;142 ;143.

Эти числа дают остатки от нуля до пятнадцати соответсвенно по модулью 16.

Ты, похоже, не понял условие, все 16 чисел должны состоять из определенных 3 цифр. Например, 456, 454, 465, 555 и т.д.

он че получается просто подобрал 16 различных чисел под различный остаток?

ахах получается, что да

интеллект к которому я стремлюсь

Лол

Пусть найдеться такие три числа пусть они x, y, z

Заметим что один из трех чисел четна и один нечетна , противном случае по модулю 2 имеем мксимум 8 разных остатков

следующее что нужно это рассмотреть случаи

возьмем последную числу как нечетное тогда первое две числа ху (я не умею писать на латехе) имею виду что ху = 10х+у

то ху * 10 по модулю 16 должен дать разные четные остатки заметим что ровно четыре случаях у четный (рассмотрим ху * 10 = 16к + 2r то ху * 5 = 8к + r)

это возможно когда мы имеем четыре разных числа х но по условию мы имеем тоько три разных чисел

Пора бы перейти на латекс(в будущем поможет,да и решение будет более приятными и понятными)

Ну в латексе довольно жарко, особенно скоро лето ведь, кажется лучше что-то другое