Greece

Задача №1. Пусть

$I$ — центр вписанной окружности треугольника

$ABC$ , точки

$N$ и

$M$ — середины сторон

$AB$ и

$CA$ соответственно. Прямые

$BI$ и

$CI$ пересекают

$MN$ в точках

$K$ и

$L$ соответственно. Докажите, что

$AI+BI+CI > BC+KL$ . ( Greece )
комментарий/решение(3) олимпиада

Задача №2. Пусть

$ABCDE$ — выпуклый пятиугольник такой, что

$AB=AE=CD=1$ ,

$\angle ABC=\angle DEA=90^\circ$ и

$BC+DE=1$ . Вычислите площадь пятиугольника. ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №3. В треугольнике

$ABC$ верно

$AB=AC$ . Пусть

$D$ точка на стороне

$BC$ такая, что

$BC > BD > DC > 0$ ,

$\mathcal{C}_1$ и

$\mathcal{C}_2$ — описанные окружности треугольников

$ABD$ и

$ADC$ соответственно. Пусть

$BB'$ и

$CC'$ — диаметры в этих двух окружностях, а

$M$ — середина отрезка

$B'C'$ . Докажите, что площадь треугольника

$MBC$ не зависит от выбора точки

$D$ . ( Greece )
комментарий/решение(1) олимпиада

Задача №4. В треугольнике

$ABC$ выполняется

$CA = CB$ . Точка

$P$ лежит на дуге

$AB$ описанной окружности, не содержащей точки

$C$ . Точка

$D$ — основание перпендикуляра, опущенного из точки

$C$ на прямую

$PB$ . Докажите, что

$PA + PB = 2 \cdot PD$ . ( Greece )
комментарий/решение(8) олимпиада

Задача №5. Докажите, что для всех положительных действительных чисел

$a,b,c$ выполняется следующее неравенство

$\frac{1}{b(a+b)}+ \frac{1}{c(b+c)}+ \frac{1}{a(c+a)} \geq \frac{27}{2(a+b+c)^2} .$ ( Greece )
комментарий/решение(6) олимпиада

Задача №6. В равностороннем треугольнике

$ABC$ точки

$D$ и

$E$ лежат на сторонах

$AB$ и

$AC$ соответственно. Если

$DF$ и

$EG$ (

$F\in AE$ ,

$G\in AD$ ) — биссектрисы углов треугольника

$ADE$ , докажите что сумма площадей треугольников

$DEF$ и

$DEG$ не превышает площади треугольника

$ABC$ . При каких условиях выполняется равенство? ( Greece )
комментарий/решение(2) олимпиада