Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год


Задача №1.  В треугольнике ABC выполняется CA=CB. Точка P лежит на дуге AB описанной окружности, не содержащей точки C. Точка D — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую PB. Докажите, что PA+PB=2PD. ( Greece )
комментарий/решение(8)
Задача №2.  Две окружности разных радиусов с центрами в точках O1 и O2 пересекаются в точках A и B так, что центры O1 и O2 лежат на разных сторонах от прямой AB. Прямые BO1 и BO2 пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках B1 и B2. Пусть M — середина отрезка B1B2. M1 и M2 — точки взятые на окружностях с центрами O1 и O2 соответственно так, что AO1M1=AO2M2, B1 лежит внутри AO1M1, B лежит внутри AO2M2. Докажите, что MM1B=MM2B. ( Ciprus )
комментарий/решение(1)
Задача №3.  Найдите все натуральные числа n, которые имеют в точности 16 натуральных делителей 1=d1<d2<<d16=n, такие, что dk=(d2+d4)d6, где k=d5. ( Bulgaria )
комментарий/решение(10)
Задача №4.  Докажите, что для всех положительных действительных чисел a,b,c выполняется следующее неравенство 1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)272(a+b+c)2. ( Greece )
комментарий/решение(6)