6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год
Задача №1. В треугольнике ABC выполняется CA=CB. Точка P лежит на дуге AB описанной окружности, не содержащей точки C. Точка D — основание перпендикуляра, опущенного из точки C на прямую PB. Докажите, что PA+PB=2⋅PD.
(
Greece
)
комментарий/решение(8)
комментарий/решение(8)
Задача №2. Две окружности разных радиусов с центрами в точках O1 и O2 пересекаются в точках A и B так, что центры O1 и O2 лежат на разных сторонах от прямой AB. Прямые BO1 и BO2 пересекают свои соответствующие окружности повторно в точках B1 и B2. Пусть M — середина отрезка B1B2. M1 и M2 — точки взятые на окружностях с центрами O1 и O2 соответственно так, что ∠AO1M1=∠AO2M2, B1 лежит внутри ∠AO1M1, B лежит внутри ∠AO2M2. Докажите, что ∠MM1B=∠MM2B.
(
Ciprus
)
комментарий/решение(1)
комментарий/решение(1)
Задача №3. Найдите все натуральные числа n, которые имеют в точности 16 натуральных делителей 1=d1<d2<…<d16=n, такие, что dk=(d2+d4)⋅d6, где k=d5.
(
Bulgaria
)
комментарий/решение(10)
комментарий/решение(10)
Задача №4. Докажите, что для всех положительных действительных чисел a,b,c выполняется следующее неравенство
1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)≥272(a+b+c)2.
(
Greece
)
комментарий/решение(6)
комментарий/решение(6)