Loading [MathJax]/jax/output/SVG/jax.js

6-я Балканская математическая олимпиада среди юниоров
Тыргу-Муреш, Румыния, 2002 год


Докажите, что для всех положительных действительных чисел a,b,c выполняется следующее неравенство 1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)272(a+b+c)2. ( Greece )
посмотреть в олимпиаде

Комментарий/решение:

  2
3 года 10 месяца назад #

Используем Неравенство КБШ (дробного вида), сокращаем уравнение, и доказываем что (a+b+c)23(ab+bc+ac) (AMGM)

  1
3 года 10 месяца назад #

Inequalities From Around the World 1995-2005. Solutions to ’Inequalities through problems’ by Hojoo Lee.

№45 есеп.

  3
3 года 1 месяца назад #

даун, у тебя по КБШ выходит сравнение:9a2+b2+c2+ab+bc+ac|272(a+b+c)2 хотя по пропорциям не выходит. значит надо искать другое решение, например:

1b(a+b)+1c(b+c)+1a(a+c)1c(a+b)+1a(b+c)+1b(a+c)

можешь легко сам доказать суммировав и докончить пропорциями и AMGM. а потом заюзай свой КБШ и AMGM через пропорции. странно что твою ошибку никто не заметил.

  4
3 года 1 месяца назад #

шиза у паренька, сам себя обзывает

  3
3 года 7 месяца назад #

По неравенству Гельдера для 3 скобок:

(1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a))(b+c+a)(a+b+b+c+c+a)(1+1+1)3,

то есть (1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a))33(b+c+a)(a+b+b+c+c+a)=272(b+c+a)2

  2
1 года 9 месяца назад #

1b(a+b)+1c(b+c)+1a(c+a)33b(a+b)c(b+c)a(c+a)=

=33c(a+b)a(b+c)b(c+a)9c(a+b)+a(b+c)+b(c+a)=92(ab+bc+ca)272(a+b+c)2